Limites e Continuidade de Funções Multivariadas

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Bola aberta e ponto de acumulação
Limites
Continuidade
Referências
LIMITES E CONTINUIDADE
(funções reais de várias variáveis reais)
(a consulta a estas notas de aula não dispensa a leitura da bibliografia de referência)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br)
I semestre de 2024

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Limites
Continuidade
Referências
Sumário
1 Bola aberta e ponto de acumulação
2 Limites
Definição
Propriedades dos limites
3 Continuidade
4 Referências

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Limites
Continuidade
Referências
Se P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) são pontos no plano, então a distância
entre P e Q é dada por
dist(P, Q) =
√
(x2 − x1)2
+ (y2 − y1)2
.
Se P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) são pontos no espaço,
dist(P, Q) =
√
(x2 − x1)2
+ (y2 − y1)2
+ (z2 − z1)2
.
De modo geral, se P = (p1, p2, . . . , pn) e Q = (q1, q2, . . . , qn) são pontos
no R
n
, então a distância entre P e Q é dada por
dist(P, Q) =
√
(q1 − p1)2
+ (q2 − p2)2
+ ⋯ + (qn − pn)2
.
Definição (Bola aberta)
Sejam A um ponto do R
n
e r um número real positivo. A bola aberta
B(A; r) é o conjunto de todos os pontos P ∈ R
n
tais que dist(P, A) < r, i.e.,
B(A; r) = {P ∈ R
n
∣ dist(P, A) < r} .

Exemplo 1 (Bola aberta no R
1
)
Sejam a ∈ R
1
e r um número real positivo. A bola aberta B(a; r) é o
conjunto de todos os pontos x ∈ R
1
tais que dist(x, a) < r, isto é,
√
(x − a)2
< r ⟺ ∣x − a∣ < r ⟺ −r < x − a < r ⟺ a − r < x < a + r .
2
)
Sejam A = (x0, y0) ∈ R
2
e r um
número real positivo.
A bola aberta B(A; r) é o conjunto de
todos os pontos (x, y) ∈ R
2
tais que
dist ((x, y) , (x0, y0)) < r ⟺
√
(x − x0)2
+ (y − y0)2
< r ⟺
(x − x0)
2
+ (y − y0)
2
< r
2
.
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3
)
Sejam A = (x0, y0, z0) ∈ R
3
e r um
número real positivo.
A bola aberta B(A; r) é o conjunto de
todos os pontos (x, y, z) ∈ R
3
tais que
dist ((x, y, z) , (x0, y0, z0)) < r ⟺
√
(x − x0)2
+ (y − y0)2
+ (z − z0)2
< r,
ou (x−x0)
2
+(y−y0)
2
+(z−z0)
2
< r
2
.
Isto é, B(A; r) é a região delimitada
pela esfera
(x − x0)
2
+ (y − y0)
2
+ (z − z0)
2
= r
2
,
excluı́da a esfera.
Definição (Ponto de acumulação)
Um ponto P0 é um ponto de acumulação de um conjunto não vazio R ⊆ R
n
se, para todo r > 0, a bola aberta B(P0; r) contém uma infinidade de pontos
da região R.
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Limites
Continuidade
Referências
Exemplo 4
Seja R = {(x, y) ∈ R
2
∣ x > 1 e y > 1} ∪ {(0, 0)} . Consideremos os pontos
E = (3, 2), F = (1, 2) e G = (0, 0).
Vale notar que os pontos E e G pertencem à região R e que o ponto F não
pertence a R.
E e F são exemplos de pontos de acumulação de R. O elemento G é
chamado ponto isolado do conjunto R.

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Limites
Continuidade
Referências
Definição
Limites
Definição (Limite de função de duas variáveis)
Seja D ⊆ R
2
um conjunto não vazio. Sejam f ∶ D ⟶ R uma função e
(x0, y0) um ponto de acumulação de D. Dizemos que o limite de f é L ∈ R,
quando (x, y) tende a (x0, y0), e escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
se e somente se, para todo ϵ > 0, existe δ > 0 (δ = δ(ϵ)) tal que
∣f(x, y) − L∣ < ϵ sempre que (x, y) ∈ D e 0 <
√
(x − x0)2
+ (y − y0)2
< δ.

Na definição de limite, é essencial que (x0, y0) seja um ponto de acu-
mulação do domı́nio D da função f. É irrelevante que (x0, y0) pertença
ou não a D, isto é, que f esteja ou não definida em (x0, y0).
Intuitivamente, lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L significa que se pode fazer f(x, y)
tão próximo de L quanto se queira (extensão dada pelo ϵ) desde que se
tome (x, y) suficientemente próximo, porém diferente, de (x0, y0) (ex-
tensão expressa pelo δ).
Exemplo 5
Mostre que lim
(x,y)→(1,3)
(2x + 3y) = 11.
Solução:
O domı́nio (natural) de f(x, y) = 2x + 3y é todo R
2
e (1, 3) é evidentemente
um ponto de acumulação desse domı́nio.
Devemos mostrar que, para todo ϵ > 0, existe δ > 0 tal que,
se 0 <
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
< δ, então ∣f(x, y) − 11∣ < ϵ (1)
Pela desigualdade triangular,
∣f(x, y) − 11∣ = ∣2x − 2 + 3y − 9∣ = ∣2(x − 1) + 3(y − 3)∣
≤ ∣2(x − 1)∣ + ∣3(y − 3)∣ = 2∣x − 1∣ + 3∣y − 3∣ .
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Limites
Continuidade
Referências
Definição
Exemplo 5 (cont.)
Além disso,
∣x − 1∣ =
√
(x − 1)2
≤
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
e
∣y − 3∣ =
√
(y − 3)2
≤
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
.
Portanto,
∣ (2x + 3y) − 11∣ ≤ 2∣x − 1∣ + 3∣y − 3∣ ≤ 5
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
.
Assim, sempre que 0 <
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
<
ϵ
5
, vale
∣ (2x + 3y) − 11∣ ≤ 5
√
(x − 1)2
+ (y − 3)2
< 5 ⋅
ϵ
5
= ϵ.
Ou seja, para δ =
ϵ
5
, a condição (1) é satisfeita. Daı́, lim
(x,y)→(1,3)
(2x + 3y) = 11.
Teorema 1 (Unicidade do limite)
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe, ele é único.

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Limites
Continuidade
Referências
Definição
Teorema 2 (Propriedades básicas)
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = M, então
P0 lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0 e lim
(x,y)→(x0,y0)
y = y0;
P1 lim
(x,y)→(x0,y0)
k = k, em que k é uma constante real;
P2 lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) ± g(x, y)] = L ± M;
P3 lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) ⋅ g(x, y)] = L ⋅ M;
P4 lim
(x,y)→(x0,y0)
[
f(x, y)
g(x, y)
] =
L
M
, desde que M ≠ 0;
P5 lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)]
m/n
= L
m/n
, desde que m, n ∈ Z, n ≠ 0, e L
m/n
∈ R.

Definição (Função polinomial e função racional)
Uma função polinomial – nas variáveis x e y – é uma soma de termos da
forma
c x
n
y
m
,
em que c ∈ R e m, n ∈ {0, 1, 2, 3, . . . } (i.e., m e n são inteiros não negativos).
Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais.
Exemplo 6
(a) g(x, y) = (−1/7) x
3
+
√
5 x
2
y
2
+ y
4
− 73 (função polinomial)
(b) h(x, y) =
x
3
+ 7 x y
2
3 x2
y4
− 2 x + 1
(função racional)
Uma função polinomial p(x, y) é também uma função racional, posto
que p(x, y) =
p(x, y)
1
.
Teorema 3
Se f é uma função racional definida em (x0, y0), então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0) .
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Limites
Continuidade
Referências
Definição
Exemplo 7
Sejam g(x, y) = x
3
− 4 x y
2
+ 5 y − 7 e h(x, y) =
x
2
− y
2
x2
+ y2
. Então,
(a) lim
(x,y)→(2,−3)
g(x, y) = 2
3
− 4 ⋅ 2 ⋅ (−3)
2
+ 5 ⋅ (−3) − 7 = −86 e
(b) lim
(x,y)→(3,4)
h(x, y) =
3
2
− 4
2
32
+ 42
= −
7
25
,
pois g e h são funções racionais definidas, respectivamente, em (2, −3) e
(3, 4).
Exemplo 8
Calcule, se existir, lim
(x,y)→(3,4)
f(x, y), em que f(x, y) =
x
2
− y
2
√
x2
+ y2
.
Solução:
Importa observar que f não é uma função racional, uma vez que seu deno-
minador não é um polinômio. Ademais, (3, 4) é um ponto de acumulação
do domı́nio (natural) de f, que é o conjunto R
2
− {(0, 0)} .

Exemplo 8 (cont.)
Temos que lim
(x,y)→(3,4)
(x
2
+ y
2
)
Teo. 3
= 3
2
+ 4
2
= 25. Daı́,
lim
(x,y)→(3,4)
√
x2
+ y2
= lim
(x,y)→(3,4)
(x
2
+ y
2
)
1/2 P5
= 25
1/2
=
√
25 = 5.
Portanto, lim
(x,y)→(3,4)
x
2
− y
2
√
x2
+ y2
P4
=
lim
(x,y)→(3,4)
x
2
− y
2
lim
(x,y)→(3,4)
√
x2
+ y2
=
−7
5
= −
7
5
.
Exemplo 9
Calcule, se houver, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y), em que f(x, y) =
x
2
− x y
√
x −
√
y
.
Solução:
Como no exemplo anterior, f não é uma
função racional. De acordo com a figura ao
lado, (0, 0) é um ponto de acumulação do
domı́nio D de f (toda região sombreada).
Neste caso,
(x, y) → (0, 0) ⟺ x → 0
+
, y → 0
+
e x ≠ y.
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Exemplo 9 (cont.)
Como
lim
(x,y)→(0,0)
(
√
x −
√
y)
P2
= lim
(x,y)→(0,0)
x
1/2
− lim
(x,y)→(0,0)
y
1/2 P0 e P5
= 0
1/2
− 0
1/2
= 0
e
lim
(x,y)→(0,0)
(x
2
− x y)
Teo. 3
= 0
2
− 0 ⋅ 0 = 0,
temos aqui uma indeterminação do tipo “0/0”. Visto que
x
2
− x y
√
x −
√
y
= (
x
2
− x y
√
x −
√
y
) (
√
x +
√
y
√
x +
√
y
) =
x

(x − y)(
√
x +
√
y)

x − y = x (
√
x +
√
y) ,
então
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
− x y
√
x −
√
y
= lim
(x,y)→(0,0)
x (
√
x +
√
y)
P3
= [ lim
(x,y)→(0,0)
x] [ lim
(x,y)→(0,0)
(
√
x +
√
y)]
P2
= [ lim
(x,y)→(0,0)
x] [ lim
(x,y)→(0,0)
x
1/2
+ lim
(x,y)→(0,0)
y
1/2
]
P0 e P5
= 0 (0
1/2
+ 0
1/2
) = 0 .
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Como o limite, quando existe, é único, vale a seguinte
Regra dos Caminhos
Se ao longo de dois caminhos diferentes para
o ponto (x0, y0), os limites de f(x, y), quando
(x, y) tende a (x0, y0), são distintos ou um de-
les não existe, então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) não existe.
Exemplo 10
Seja f(x, y) =
2 x y
x2
+ y2
. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
Solução:
Ao longo do eixo y, isto é, x = 0 e y ≠ 0, temos que
f(x, y)
»
»
»
»
»
»
»
»x=0, y≠0
=
2 ⋅ 0 ⋅ y
02
+ y2
=
0
y2
= 0
e, por isso, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
y→0
0 = 0 .
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Exemplo 10 (cont.)
Ao longo da reta y = x, x ≠ 0, temos que
f(x, y)
»
»
»
»
»
»
»
»y=x, x≠0
=
2 x x
x2
+ x2
=

2 x
2

2 x
2
= 1
e, assim, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
1 = 1 . Visto que os limites acima são distin-
tos, pela Regra dos Caminhos, lim
(x,y)→(0,0)
Exemplo 11
Seja f(x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x y
2
x2
+ y4
se (x, y) ≠ (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
se existir.
Solução:
Seja m ∈ R. Ao longo da reta y = m x, x ≠
0, temos que f(x, y)
»
»
»
»
»
»
»
»y=mx, x≠0
=
x(m x)
2
x2
+ (m x)4
=
m
2
x
3
(m4
x2
+ 1)x
2
=
m
2
x
m4
x2
+ 1
.
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Limites
Continuidade
Referências
Definição
Exemplo 11 (cont.)
Portanto, ao longo de qualquer reta não vertical passando pela origem,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
m
2
x
m4
x2
+ 1
= 0 .
Em relação à reta vertical x = 0, y ≠ 0, o limite também é zero (verifique!).
Ao longo da parábola x = y
2
, y ≠ 0, vemos que
f(x, y)
»
»
»
»
»
»
»
»x=y2, y≠0
=
y
2
y
2
(y2
)
2
+ y4
=

y
4
2

y
4
=
1
2
.
Então, ao longo desse caminho, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
y→0
1
2
=
1
2
.
Dado que os limites acima são diferentes, de acordo com a Regra dos Cami-
nhos, lim
(x,y)→(0,0)
É oportuno destacar que, no exemplo anterior, o limite da função ao
longo de uma infinidade de caminhos para (0, 0) é zero. Contudo, o
limite da função, quando (x, y) tende a (0, 0), não existe.

Exemplo 12
Seja f(x, y) =
3 x y
2
x2
+ y2
. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) se existir.
Solução:
Ao longo do caminho y = x, x ≠ 0,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
3 x x
2
x2
+ x2
= lim
x→0
3 x
3
2 x
2
= lim
x→0
3
2
x = 0 .
Ao longo da curva y = x
2
, x ≠ 0,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
3 x (x
2
)
2
x2
+ (x2
)
2
= lim
x→0
3 x
5
x
2
(1 + x2
)
= lim
x→0
3 x
3
1 + x2
= 0 .
Neste caso, f é uma função racional com grau do numerador maior que o
grau do denominador e tal que lim
(x,y)→(0,0)
3 xy
2
= lim
(x,y)→(0,0)
(x
2
+ y
2
) = 0. Es-
sas condições, juntamente com os resultados dos limites por caminho acima,
nos levam a suspeitar que o limite existe e que ele deve ser igual a zero (Cui-
dado! Isto não é um critério determinante).
Vamos então tentar provar que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 usando a definição de
limite, já que nenhum dos resultados vistos, até o momento, pode ser apli-
cado.
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Exemplo 12 (cont.)
Queremos mostrar que, para todo ϵ 0, existe δ 0 tal que,
se 0
√
(x − 0)2
+ (y − 0)2
δ, então ∣f(x, y) − 0∣ ϵ (2)
Podemos escrever
∣f(x, y) − 0∣ =
»
»
»
»
»
»
»
»
»
3 x y
2
x2
+ y2
»
»
»
»
»
»
»
»
»
= 3∣x∣
y
2
x2
+ y2
.
Além disso, como y
2
≤ x
2
+ y
2
e x
2
≤ x
2
+ y
2
, temos que
y
2
x2
+ y2
≤ 1 e
√
x2
≤
√
x2
+ y2
. Consequentemente,
3∣x∣
y
2
x2
+ y2
≤ 3∣x∣ = 3
√
x2
≤ 3
√
x2
+ y2
.
Desse modo, 0
√
x2
+ y2

ϵ
3
implica que
∣f(x, y) − 0∣ ≤ 3
√
x2
+ y2
3 ⋅
ϵ
3
= ϵ.
Isto é, para δ =
ϵ
3
, a condição (2) é satisfeita. Logo, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
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Teorema 4 (Teorema do Confronto)
Se f(x, y) ≤ h(x, y) ≤ g(x, y) para todo (x, y) pertencente a bola aberta
centrada no ponto (x0, y0) (exceto possivelmente em (x0, y0)) e
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L ,
então lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = L .
Exemplo 13
Sabemos, do exemplo anterior, que
»
»
»
»
»
»
»
»
»
3 x y
2
x2
+ y2
»
»
»
»
»
»
»
»
»
≤ 3
√
x2
+ y2
para todo (x, y) ∈
R
2
− {(0, 0)} . Isso implica que
−3
√
x2
+ y2
≤
3 x y
2
x2
+ y2
≤ 3
√
x2
+ y2
para todo (x, y), (x, y) ≠ (0, 0), de uma bola aberta centrada na origem e
de raio qualquer. Como lim
(x,y)→(0,0)
−3
√
x2
+ y2
= lim
(x,y)→(0,0)
3
√
x2
+ y2
= 0, o
Teorema do Confronto assegura que lim
(x,y)→(0,0)
3 x y
2
x2
+ y2
= 0 .
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21/27
Limites
Continuidade
Referências
Continuidade
Definição (Continuidade)
Uma função f ∶ D ⊆ R
2
⟶ R é contı́nua no ponto (x0, y0) se as três
condições a seguir são satisfeitas:
(i) f está definida em (x0, y0), isto é, (x0, y0) ∈ D,
(ii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe e
(iii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Dizemos que f é contı́nua se ela é contı́nua em cada um dos pontos de seu
domı́nio D.
Se f está definida em (x0, y0) mas ao menos uma das condições (ii) e (iii)
acima não é satisfeita, dizemos que f é descontı́nua no ponto (x0, y0).
Teorema 5 (Uma classe bem comportada)
Uma função racional é contı́nua em todos os pontos de seu domı́nio.

Exemplo 14
Seja g(x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
3 x y
2
x2
+ y2
se (x, y) ≠ (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Essa função é contı́nua?
Solução:
A função g está definida em todo R
2
. Para (x, y) ≠ (0, 0), g(x, y) coincide
com f(x, y) =
3 x y
2
x2
+ y2
, que é uma função racional definida em R
2
−{(0, 0)} .
Portanto, g é contı́nua em cada um dos pontos de R
2
− {(0, 0)} .
Resta saber se g é contı́nua no ponto (0, 0). De acordo com o Exemplo 12,
podemos escrever
lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
3 x y
2
x2
+ y2
= 0.
Em outros termos, lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = g(0, 0), isto é, g é contı́nua em (0, 0).
Como g é contı́nua em todos os pontos de seu domı́nio, g é uma função
contı́nua.
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Teorema 6 (Propriedades básicas)
Sejam f e g funções reais de duas variáveis reais contı́nuas no ponto (x0, y0).
Então,
(i) f ± g é contı́nua em (x0, y0),
(ii) f ⋅ g é contı́nua em (x0, y0) e
(iii)
f
g é contı́nua em (x0, y0), desde que g(x0, y0) ≠ 0 .
Teorema 7 (Continuidade de funções compostas)
Sejam g uma função real de uma variável real e h uma função real de duas
variáveis reais. Suponha que h seja contı́nua em (x0, y0) e que g seja contı́nua
em h(x0, y0). Então a função composta g ◦ h é contı́nua em (x0, y0).
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Exemplo 15
Identifique os pontos nos quais a função f(x, y) = ln (4 − x
2
− y
2
) é contı́nua.
Solução:
A função f é composta das funções g(u) = ln u e h(x, y) = 4 − x
2
− y
2
, isto
é, f(x, y) = g(h(x, y)).
Sabemos que g é contı́nua no intervalo (0, ∞) e que h é contı́nua em R
2
.
Além disso,
h(x, y) 0 ⟺ 4 − x
2
− y
2
0 ⟺ x
2
+ y
2
4.
Por conseguinte, pelo Teorema 7, podemos inferir que f é contı́nua em cada
um dos pontos do conjunto Df = {(x, y) ∈ R
2
∣ x
2
+ y
2
4} .
Exemplo 16
Pelo mesmo raciocı́nio empregado no exemplo anterior, podemos deduzir que
as funções
r(x, y) = e
x−y
e s(x, y) = sen (x + y)
são contı́nuas em R
2
e que a função t(x, y) = arctg (
y
x) é contı́nua no con-
junto Dt = {(x, y) ∈ R
2
∣ x ≠ 0} (confira!). Podemos então estabelecer, por
exemplo, as seguintes igualdades
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Exemplo 16 (cont.)
(a) lim
(x,y)→(π,π/2)
sen(x + y)
x
P4
=
lim
(x,y)→(π,π/2)
sen(x + y)
lim
(x,y)→(π,π/2)
x
=
sen (π + π/2)
π = −
1
π ,
(b) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
e
x−y
= e
ln 3−ln 2
= e
ln 3
2 =
3
2
e
(c) lim
(x,y)→(1,
√
3)
arctg (
y
x) = arctg (
√
3
1
) =
π
3
.
Teorema 8
Sejam g uma função de uma única variável e h uma função de duas variáveis.
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = a e g é contı́nua em a, então
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(h(x, y)) = g(a) ou
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(h(x, y)) = g ( lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y)).
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Limites
Continuidade
Referências
Exemplo 17
Seja f(x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
cos (
3 x y
2
x2
+ y2
) se (x, y) ≠ (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Essa função é
contı́nua na origem?
Solução:
Vimos no Exemplo 12 que
lim
(x,y)→(0,0)
3 x y
2
x2
+ y2
= 0.
Uma vez que a função cosseno é contı́nua, o Teorema 8 implica que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
cos (
3 x y
2
x2
+ y2
)
= cos ( lim
(x,y)→(0,0)
3 x y
2
x2
+ y2
) = cos 0 = 1.
Como lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) ≠ f(0, 0), a função f é descontı́nua no ponto (0, 0).

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Limites
Continuidade
Referências
Referências
THOMAS, G. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v.
2.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analı́tica. 3. ed. São
Paulo: Harbra, 1994. v.2.
https://www.geogebra.org/
L
A
TEX https://www.latex-project.org/

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