ÂNGULOS
5ºano
Classificação de ângulos; ângulos adjacentes, complementares e
suplementares; ângulos verticalmente opostos; ângulos de lados
paralelos
1
Ângulos
 Um ângulo é um conjunto de pontos do plano
limitado por duas semirretas com a mesma origem.
B Ξ E
O símbolo Ξ lê-se
“ é coincidente com”.
C
A
B
F D
E
Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o
outro, todos os seus elementos coincidem.
 Na figura ABC e DEF são ângulos congruentes.
Ângulo Agudo:
Mede menos de 90°
Ângulo Reto:
Mede 90°
Ângulo Obtuso:
Maior do que 90° e
menor do que 180°
Ângulo Raso:
Mede 180°
Ângulo Côncavo
Maior do que 180° e
menor do que 360°
Giro:
Mede 360°
BISSECTRIZ DE UM ÂNGULO
Cada ponto P da bissetriz B, está à mesma distância dos
lados do ângulo.
Â
B
P
A BISSECTRIZ de um ângulo Â, é a semirreta que divide
o ângulo em duas partes iguais.
1
V
.
Traçar a bissetriz de um ângulo. Com a régua traça
uma semirreta a partir do ponto V (vértice do ângulo).
2 A partir do ponto V, traça outra semirreta, formando,
neste caso, um ângulo agudo.
V
.
3
Profª Helena Borralho 2012/13
Com centro no ponto V, traça um arco de circunferência
que intersete as duas semirretas, definindo o ponto A e B
V B
A
4 Fazendo centro em A e B, traça dois arcos com raio
maior que AB, de forma a que se intersetem.
V B
A
C
V B
A
C
5
A partir do ponto V, traça uma semirreta
que passe pelo ponto C.
A esta semirreta, que divide o
ângulo em duas partes iguais,
chamamos Bissetriz.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES ÂNGULOS SUPLEMENTARES
a
b
a + b = 90°
Dois ângulos cuja soma das suas
amplitudes é 90°.
Dois ângulos cuja soma das suas
amplitudes é 180°.
ba
a + b = 180°
ÂNGULOS ADJACENTES ÂNGULOS CÔNCAVO E CONVEXO
Dois ângulos que têm o mesmo
vértice e um lado comum que os
separa.
ba
a + b = 180°
Quando duas retas se intersetam,
formam dois pares de ângulos
verticalmente opostos. Dois ângulos
cuja soma é 360°.
ângulo côncavo
ângulo convexo
a
b
a + b = 360°
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes complementares.
São ângulos não adjacentes complementares
os ângulos: [BOC] e [DOE].
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos adjacentes.
São ângulos adjacentes
os ângulos: [DBA] e [CBD].
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes, mas com um lado comum.
São ângulos não adjacentes com um lado comum
os ângulos: [DBA] e [EBA].
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes, sem lados comuns.
São ângulos não adjacentes sem lados comuns
os ângulos: [EBA] e [CBD].
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos adjacentes suplementares.
São ângulos adjacentes suplementares
os ângulos: [COD] e [DOE].
.
a
d
c
b
<a = <b <c = <d
Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos
verticalmente opostos
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
NA FIGURA ABAIXO OS DOIS ÂNGULOS TÊM OS LADOS PARALELOS
E SÃO AMBOS ÂNGULOS AGUDOS (A SUA AMPLITUDE É MAIOR DO
QUE 0° E MENOR DO QUE 90°).
Os dois ângulos
assinalados são
geometricamente iguais.
As duas retas são
intersetadas por uma
terceira reta, formam-se
ângulos de lados paralelos
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados
paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua
amplitude é maior do que 90° e menor do que 180°.
Os dois ângulos assinalados são
geometricamente iguais.
a
b
c
d
e
f
g h
r
s
t
internos
externos
(c, e) ; (d, f)
(a, g) ; (b, h)
ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOS
Os ângulos de lados paralelos que se seguem denominam-se :
𝑎 = 𝛽
(obtusos)
𝑎 = 𝛽
(agudos)
𝑎 = 𝛽
(obtusos)
𝑎 = 𝛽
(agudos)
CONCLUSÃO
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos agudos alternos internos não congruentes.
São ângulos agudos alternos internos não congruentes
os ângulos: b e c.
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos agudos de lados paralelos.
São ângulos agudos de lados paralelos
os ângulos: b e e.
Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos obtusos de lados paralelos.
São ângulos obtusos de lados paralelos
os ângulos: c e e.
Exercício 1
Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.
Exercício 1
Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.
Dado que:
- reta AC ∥ reta DF e
- os ângulos ABE e FEB são ângulos alternos
internos
Concluiu-se que:
- os ângulos ABE e FEB são ângulos congruentes,
têm igual amplitude e
A amplitude do ângulo ABE é 90°.
Exercício 2
Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Exercício 2
Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Dado que:
- reta que t ∥ u
- o ângulo b é verticalmente oposto ao
ângulo de 50º e mede 50º,
- ângulo b é alterno interno com o c e
também mede 50º e
- c e d são verticalmente opostos e com igual
amplitude
Concluiu-se que:
A amplitude do ângulo d é 50º.
Exercício 3
Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Exercício 3
Determina o valor da amplitude do ângulo e.
Dado que:
- reta que t ∥ u
- o ângulo de 55° é verticalmente oposto ao
ângulo b e este alterno interno com o c, que
mede também 55°, e é suplementar com o
ângulo e, dado que n ∥ o, medindo portanto
125°.
(180°-55°).
A amplitude do ângulo e é 125º.
Exercício 4
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Exercício 4
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que:
- reta que [AB] ∥ [CD] e que
- o ângulo de 60° é congruente ao ângulo a e
este é adjacente e suplementar com o ângulo
b, o ângulo b mede portanto 120°.
(180°-60°=120°).
A amplitude do ângulo b é 120°.
Exercício 5
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Exercício 5
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Dado que:
- O ângulo de 125° é adjacente e suplementar
com o ângulo a, que mede portanto 55°
(180°-125°) e
- o ângulo a é verticalmente oposto ao ângulo
b , e portanto com 55° de amplitude,
A amplitude do ângulo c é igual a:
180°-(90°+55°)=35°.
A amplitude do ângulo c é 35°.
Exercício 6
Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Exercício 6
Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Dado que a reta r é paralela à reta s o ângulo com
135° de amplitude é congruente com o ângulo
formado pelos ângulos adjacentes h e b, somando
135°.
Como o ângulo b é um ângulo reto, o ângulo h
mede:
135° - 90° = 45°
A amplitude do ângulo h é 45°.
Exercício 7
Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Exercício 7
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que a reta t é paralela à reta u, o ângulo
com 120° de amplitude é alterno interno com o
ângulo formado pelos ângulos adjacentes a e b.
O ângulo b mede:
120° - 40° = 80°
A amplitude do ângulo b é 80°.
Exercício 8
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Exercício 8
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
O ângulo com 40° de amplitude é verticalmente
oposto e congruente ao ângulo a.
Os ângulos a e b são ângulos adjacentes e
complementares, somando 90°.
O ângulo b mede:
90° - 40° = 50°
A amplitude do ângulo b é 50°.
Exercício 9
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Exercício 9
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
O ângulo com 55° de amplitude é verticalmente
oposto e congruente ao ângulo a, que é alterno
interno e congruente ao ângulo b, dado que a reta
m é paralela à reta n.
Os ângulos b e c são ângulos adjacentes e
suplementares, somando 180°.
O ângulo c mede:
180° - 55° = 125°
A amplitude do ângulo c é 125°.

âNgulos mat5º revisões

  • 1.
    ÂNGULOS 5ºano Classificação de ângulos;ângulos adjacentes, complementares e suplementares; ângulos verticalmente opostos; ângulos de lados paralelos 1
  • 2.
    Ângulos  Um ânguloé um conjunto de pontos do plano limitado por duas semirretas com a mesma origem.
  • 3.
    B Ξ E Osímbolo Ξ lê-se “ é coincidente com”. C A B F D E Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.  Na figura ABC e DEF são ângulos congruentes.
  • 4.
    Ângulo Agudo: Mede menosde 90° Ângulo Reto: Mede 90° Ângulo Obtuso: Maior do que 90° e menor do que 180° Ângulo Raso: Mede 180° Ângulo Côncavo Maior do que 180° e menor do que 360° Giro: Mede 360°
  • 5.
    BISSECTRIZ DE UMÂNGULO Cada ponto P da bissetriz B, está à mesma distância dos lados do ângulo. Â B P A BISSECTRIZ de um ângulo Â, é a semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais.
  • 6.
    1 V . Traçar a bissetrizde um ângulo. Com a régua traça uma semirreta a partir do ponto V (vértice do ângulo).
  • 7.
    2 A partirdo ponto V, traça outra semirreta, formando, neste caso, um ângulo agudo. V .
  • 8.
    3 Profª Helena Borralho2012/13 Com centro no ponto V, traça um arco de circunferência que intersete as duas semirretas, definindo o ponto A e B V B A
  • 9.
    4 Fazendo centroem A e B, traça dois arcos com raio maior que AB, de forma a que se intersetem. V B A C
  • 10.
    V B A C 5 A partirdo ponto V, traça uma semirreta que passe pelo ponto C. A esta semirreta, que divide o ângulo em duas partes iguais, chamamos Bissetriz.
  • 11.
    ÂNGULOS COMPLEMENTARES ÂNGULOSSUPLEMENTARES a b a + b = 90° Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 90°. Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 180°. ba a + b = 180°
  • 12.
    ÂNGULOS ADJACENTES ÂNGULOSCÔNCAVO E CONVEXO Dois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum que os separa. ba a + b = 180° Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos. Dois ângulos cuja soma é 360°. ângulo côncavo ângulo convexo a b a + b = 360°
  • 13.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos não adjacentes complementares. São ângulos não adjacentes complementares os ângulos: [BOC] e [DOE].
  • 14.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos adjacentes. São ângulos adjacentes os ângulos: [DBA] e [CBD].
  • 15.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos não adjacentes, mas com um lado comum. São ângulos não adjacentes com um lado comum os ângulos: [DBA] e [EBA].
  • 16.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos não adjacentes, sem lados comuns. São ângulos não adjacentes sem lados comuns os ângulos: [EBA] e [CBD].
  • 17.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos adjacentes suplementares. São ângulos adjacentes suplementares os ângulos: [COD] e [DOE].
  • 18.
    . a d c b <a = <b<c = <d Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos
  • 20.
    ÂNGULOS DE LADOSPARALELOS NA FIGURA ABAIXO OS DOIS ÂNGULOS TÊM OS LADOS PARALELOS E SÃO AMBOS ÂNGULOS AGUDOS (A SUA AMPLITUDE É MAIOR DO QUE 0° E MENOR DO QUE 90°). Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais. As duas retas são intersetadas por uma terceira reta, formam-se ângulos de lados paralelos
  • 21.
    ÂNGULOS DE LADOSPARALELOS Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90° e menor do que 180°. Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
  • 22.
  • 23.
    ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOSE EXTERNOS Os ângulos de lados paralelos que se seguem denominam-se : 𝑎 = 𝛽 (obtusos) 𝑎 = 𝛽 (agudos) 𝑎 = 𝛽 (obtusos) 𝑎 = 𝛽 (agudos)
  • 24.
  • 25.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos agudos alternos internos não congruentes. São ângulos agudos alternos internos não congruentes os ângulos: b e c.
  • 26.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos agudos de lados paralelos. São ângulos agudos de lados paralelos os ângulos: b e e.
  • 27.
    Exercício No desenho, entreos ângulos assinalados, identifica um par de ângulos obtusos de lados paralelos. São ângulos obtusos de lados paralelos os ângulos: c e e.
  • 28.
    Exercício 1 Determina ovalor da amplitude do ângulo ABE.
  • 29.
    Exercício 1 Determina ovalor da amplitude do ângulo ABE. Dado que: - reta AC ∥ reta DF e - os ângulos ABE e FEB são ângulos alternos internos Concluiu-se que: - os ângulos ABE e FEB são ângulos congruentes, têm igual amplitude e A amplitude do ângulo ABE é 90°.
  • 30.
    Exercício 2 Determina ovalor da amplitude do ângulo d.
  • 31.
    Exercício 2 Determina ovalor da amplitude do ângulo d. Dado que: - reta que t ∥ u - o ângulo b é verticalmente oposto ao ângulo de 50º e mede 50º, - ângulo b é alterno interno com o c e também mede 50º e - c e d são verticalmente opostos e com igual amplitude Concluiu-se que: A amplitude do ângulo d é 50º.
  • 32.
    Exercício 3 Determina ovalor da amplitude do ângulo d.
  • 33.
    Exercício 3 Determina ovalor da amplitude do ângulo e. Dado que: - reta que t ∥ u - o ângulo de 55° é verticalmente oposto ao ângulo b e este alterno interno com o c, que mede também 55°, e é suplementar com o ângulo e, dado que n ∥ o, medindo portanto 125°. (180°-55°). A amplitude do ângulo e é 125º.
  • 34.
    Exercício 4 Determina ovalor da amplitude do ângulo b.
  • 35.
    Exercício 4 Determina ovalor da amplitude do ângulo b. Dado que: - reta que [AB] ∥ [CD] e que - o ângulo de 60° é congruente ao ângulo a e este é adjacente e suplementar com o ângulo b, o ângulo b mede portanto 120°. (180°-60°=120°). A amplitude do ângulo b é 120°.
  • 36.
    Exercício 5 Determina ovalor da amplitude do ângulo c.
  • 37.
    Exercício 5 Determina ovalor da amplitude do ângulo c. Dado que: - O ângulo de 125° é adjacente e suplementar com o ângulo a, que mede portanto 55° (180°-125°) e - o ângulo a é verticalmente oposto ao ângulo b , e portanto com 55° de amplitude, A amplitude do ângulo c é igual a: 180°-(90°+55°)=35°. A amplitude do ângulo c é 35°.
  • 38.
    Exercício 6 Determina ovalor da amplitude do ângulo h.
  • 39.
    Exercício 6 Determina ovalor da amplitude do ângulo h. Dado que a reta r é paralela à reta s o ângulo com 135° de amplitude é congruente com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes h e b, somando 135°. Como o ângulo b é um ângulo reto, o ângulo h mede: 135° - 90° = 45° A amplitude do ângulo h é 45°.
  • 40.
    Exercício 7 Determina ovalor da amplitude do ângulo h.
  • 41.
    Exercício 7 Determina ovalor da amplitude do ângulo b. Dado que a reta t é paralela à reta u, o ângulo com 120° de amplitude é alterno interno com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes a e b. O ângulo b mede: 120° - 40° = 80° A amplitude do ângulo b é 80°.
  • 42.
    Exercício 8 Determina ovalor da amplitude do ângulo b.
  • 43.
    Exercício 8 Determina ovalor da amplitude do ângulo b. O ângulo com 40° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a. Os ângulos a e b são ângulos adjacentes e complementares, somando 90°. O ângulo b mede: 90° - 40° = 50° A amplitude do ângulo b é 50°.
  • 44.
    Exercício 9 Determina ovalor da amplitude do ângulo c.
  • 45.
    Exercício 9 Determina ovalor da amplitude do ângulo c. O ângulo com 55° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a, que é alterno interno e congruente ao ângulo b, dado que a reta m é paralela à reta n. Os ângulos b e c são ângulos adjacentes e suplementares, somando 180°. O ângulo c mede: 180° - 55° = 125° A amplitude do ângulo c é 125°.