d2x/dt=k/(x+1)^2, dx/dt在t=0时候为0 x(0)为0，用幂级数展开法求解次ODE方程，并写成matlab脚本

<think> 我们面对的是一个二阶非线性常微分方程：$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{k}{(x+1)^2}$$，初始条件为：$$x(0)=0$$ 和 $$\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=0$$。 由于方程是非线性的，解析解通常难以求得，因此我们考虑使用幂级数展开法（也称为级数解法）来求解。 ### 幂级数展开法基本思想 假设解可以表示为幂级数形式： $$x(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$$ 根据初始条件，我们可以确定前几项系数： 1. $x(0)=0$ ⇒ $a_0 = 0$。 2. $\dot{x}(0)=0$ ⇒ 对级数求导：$\dot{x}(t) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n-1}$，代入$t=0$得：$a_1=0$。 因此，级数从$n=2$开始有非零项： $$x(t) = a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + \cdots$$ ### 将级数代入微分方程 首先，计算二阶导数： $$\dot{x}(t) = 2a_2 t + 3a_3 t^2 + 4a_4 t^3 + \cdots$$ $$\ddot{x}(t) = 2a_2 + 6a_3 t + 12a_4 t^2 + \cdots$$ 方程右边：$$\frac{k}{(x+1)^2}$$ 由于$x(t)$是$t$的幂级数，且$a_0=a_1=0$，所以$x(t)$从$t^2$项开始。因此，$x+1=1+x=1+a_2t^2+a_3t^3+\cdots$。 我们需要将右边展开成幂级数形式。注意： $$\frac{1}{(x+1)^2} = (1+x)^{-2}$$ 利用二项式展开（当$|x|<1$时）： $$(1+x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-2}{n} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) x^n$$ 但这里$x$本身是一个级数（从$t^2$开始），所以我们必须将$x$代入并展开成$t$的幂级数。 由于$x$的最低次项是$t^2$，我们可以写成： $$(1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots$$ 然后代入$x(t)=a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+\cdots$，并逐项计算。 ### 计算右边的级数 我们计算到足够的阶数（例如到$t^4$）： $$x(t) = a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + O(t^5)$$ 那么： $$x+1 = 1 + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + O(t^5)$$ 然后： $$(x+1)^{-2} = [1 + (a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4)]^{-2}$$ 令$u = a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4$，则： $$(1+u)^{-2} = 1 - 2u + 3u^2 - 4u^3 + \cdots$$ 代入$u$： 1. $-2u = -2a_2 t^2 -2a_3 t^3 -2a_4 t^4 + O(t^5)$ 2. $3u^2 = 3(a_2 t^2 + a_3 t^3 + ...)^2 = 3a_2^2 t^4 + O(t^5)$（因为$t^3$的平方是$t^6$，更高次项忽略） 3. $-4u^3$ 是$t^6$阶以上，忽略。 因此，保留到$t^4$： $$(x+1)^{-2} = 1 - 2a_2 t^2 - 2a_3 t^3 + (3a_2^2 - 2a_4) t^4 + O(t^5)$$ 乘以$k$： $$\frac{k}{(x+1)^2} = k [1 - 2a_2 t^2 - 2a_3 t^3 + (3a_2^2 - 2a_4) t^4] + O(t^5)$$ ### 等式两边对比系数 左边：$$\ddot{x}=2a_2 + 6a_3 t + 12a_4 t^2 + 20a_5 t^3 + \cdots$$（注意这里我们写到了$t^3$，但为了匹配右边，我们需要到$t^4$，所以需要展开更多项，但右边我们只到$t^4$，所以左边也需要到$t^4$） 实际上，左边二阶导数： $$\ddot{x}(t) = 2a_2 + 6a_3 t + 12a_4 t^2 + 20a_5 t^3 + 30a_6 t^4 + \cdots$$ 右边：$$k - 2k a_2 t^2 - 2k a_3 t^3 + k(3a_2^2-2a_4) t^4 + O(t^5)$$ 注意：右边没有$t$和$t^3$的项？但左边有$t$和$t^3$项。为了使两边相等，这些项的系数必须为零。 ### 对比系数 1. 常数项（$t^0$）： 左边：$2a_2$ 右边：$k$ 所以：$2a_2 = k$ ⇒ $a_2 = \frac{k}{2}$ 2. $t$的系数： 左边：$6a_3$ 右边：0 （因为右边没有$t$项） 所以：$6a_3=0$ ⇒ $a_3=0$ 3. $t^2$的系数： 左边：$12a_4$ 右边：$-2k a_2$ 所以：$12a_4 = -2k a_2$ ⇒ 代入$a_2=k/2$，得：$12a_4 = -2k \cdot (k/2) = -k^2$ ⇒ $a_4 = -\frac{k^2}{12}$ 4. $t^3$的系数： 左边：$20a_5$ 右边：$-2k a_3$ （但$a_3=0$，所以为0） 所以：$20a_5=0$ ⇒ $a_5=0$ 5. $t^4$的系数： 左边：$30a_6$ 右边：$k(3a_2^2-2a_4)$ 所以：$30a_6 = k \left(3 \left(\frac{k}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{k^2}{12}\right)\right)$ 计算右边： $$3 \cdot \frac{k^2}{4} + 2 \cdot \frac{k^2}{12} = \frac{3k^2}{4} + \frac{k^2}{6} = \frac{9k^2}{12} + \frac{2k^2}{12} = \frac{11k^2}{12}$$ 所以：$30a_6 = k \cdot \frac{11k^2}{12} = \frac{11k^3}{12}$ ⇒ $a_6 = \frac{11k^3}{12 \times 30} = \frac{11k^3}{360}$ 因此，级数解为： $$x(t) = \frac{k}{2} t^2 + 0 \cdot t^3 - \frac{k^2}{12} t^4 + 0 \cdot t^5 + \frac{11k^3}{360} t^6 + \cdots$$ ### 编写Matlab脚本 我们可以编写一个Matlab函数来计算幂级数的前N项。这里我们计算到$t^6$项（即前4项，因为0次和1次项为0，然后2,4,6次项）。 注意：这个级数只在$t$较小时收敛，因为当$t$增大时，高阶项的影响会变大。 脚本如下： ```matlab % 幂级数法求解ODE: d^2x/dt^2 = k/(x+1)^2, 初始条件 x(0)=0, dx/dt(0)=0 clear; clc; % 设置参数k k = 1; % 这里取k=1，可以根据需要修改 % 定义幂级数系数，我们计算到t^6 % x(t) = a2*t^2 + a4*t^4 + a6*t^6 (a0=a1=a3=a5=0) a2 = k/2; a4 = -k^2/12; a6 = 11*k^3/360; % 定义时间范围（注意：幂级数只在t较小时有效） t = linspace(0, 0.5, 100); % 这里取0到0.5，因为k=1时，t太大可能不收敛 % 计算x(t) x = a2 * t.^2 + a4 * t.^4 + a6 * t.^6; % 绘制结果 plot(t, x); xlabel('t'); ylabel('x(t)'); title(['Solution by power series: k=', num2str(k)]); grid on; % 为了验证，我们可以用数值方法求解这个ODE并比较 % 使用ode45求解，需要转化为一阶方程组 % 令 y1 = x, y2 = dx/dt % 则 dy1/dt = y2 % dy2/dt = k/(y1+1)^2 odefun = @(t,y) [y(2); k/(y(1)+1)^2]; [t_num, y_num] = ode45(odefun, t, [0;0]); % 初始条件 [x0; v0] = [0;0] % 在同一图中比较 hold on; plot(t_num, y_num(:,1), 'r--'); legend('Power series (up to t^6)', 'Numerical (ode45)'); ``` ### 说明 1. 我们假设参数k=1，但用户可以根据需要修改。 2. 时间范围选择0到0.5，因为幂级数展开在t较小时才有效。如果k较大，则需要缩小t的范围。 3. 我们用ode45求解同样的方程作为验证，以评估幂级数近似的准确性。 ### 结果 运行脚本后，我们将得到幂级数解和数值解的对比图。从图中可以观察到，在t较小时，两条曲线基本重合，说明级数解是有效的。当t增大时，两条曲线可能开始分离，这时需要增加级数的项数或缩小t的范围。 ### 注意事项 1. 幂级数展开法通常只在解是解析函数且展开点附近有效。这个方程在$x=-1$处有奇点，但初始条件$x=0$，所以展开点$t=0$附近是有效的。 2. 如果要求更高精度的解，需要计算更多项。 ### 相关问题 1. 幂级数展开法求解微分方程有哪些局限性？ 2. 除了幂级数法，还有哪些方法可以求解非线性微分方程？ 3. 如何通过增加幂级数的项数来提高解的精度？ </think> ### 解答：使用幂级数展开法求解微分方程 #### 问题分析 给定二阶非线性常微分方程： $$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{k}{(x+1)^2}$$ 初始条件： $$x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}\Big|_{t=0} = 0$$ 由于方程非线性（分母含 \((x+1)^2\)），解析解难以直接求得。幂级数展开法假设解为： $$x(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$$ 通过代入方程并比较系数求解。 #### 求解步骤 1. **确定初始系数** - \(x(0) = 0 \Rightarrow a_0 = 0\) - \(\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0} = 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n-1}\Big|_{t=0} = a_1 = 0\) 因此解简化为： $$x(t) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n t^n$$ 2. **展开方程右边** 令 \(u = x + 1\)，则： $$\frac{1}{u^2} = (1 + x)^{-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m (m+1) x^m$$ 代入 \(x(t) = a_2 t^2 + a_3 t^3 + \cdots\)，保留到 \(t^4\)： $$\frac{k}{(x+1)^2} = k \left[ 1 - 2(a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4) + 3(a_2 t^2)^2 + \cdots \right] = k - 2k a_2 t^2 - 2k a_3 t^3 + k(3a_2^2 - 2a_4)t^4$$ 3. **处理方程左边** 二阶导数： $$\frac{d^2x}{dt^2} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n t^{n-2} = 2a_2 + 6a_3 t + 12a_4 t^2 + 20a_5 t^3 + \cdots$$ 4. **比较系数** 等式两边同幂次系数相等： - \(t^0\)： \(2a_2 = k \Rightarrow a_2 = \frac{k}{2}\) - \(t^1\)： \(6a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0\) - \(t^2\)： \(12a_4 = -2k a_2 \Rightarrow a_4 = -\frac{k^2}{12}\)（代入 \(a_2 = k/2\)） - \(t^3\)： \(20a_5 = -2k a_3 = 0 \Rightarrow a_5 = 0\) - \(t^4\)： \(30a_6 = k(3a_2^2 - 2a_4) \Rightarrow a_6 = \frac{11k^3}{360}\) 5. **幂级数解** 最终解（保留到 \(t^6\)）： $$x(t) = \frac{k}{2} t^2 - \frac{k^2}{12} t^4 + \frac{11k^3}{360} t^6 + O(t^8)$$ --- ### MATLAB 脚本实现 ```matlab % 幂级数法求解 ODE: d²x/dt² = k/(x+1)² clear; clc; % 参数设置 k = 1; % 调节参数（根据需求修改） t_max = 0.5; % 时间范围（幂级数在 t 较小时有效） N = 100; % 时间点数 % 幂级数系数 a2 = k/2; a4 = -k^2/12; a6 = 11*k^3/360; % 计算幂级数解 t = linspace(0, t_max, N); x_series = a2 * t.^2 + a4 * t.^4 + a6 * t.^6; % 数值解（ode45 作为基准） ode_fun = @(t, y) [y(2); k/(y(1)+1)^2]; % y = [x; dx/dt] [t_ode, y_ode] = ode45(ode_fun, [0 t_max], [0; 0]); % 绘图比较 plot(t, x_series, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on; plot(t_ode, y_ode(:,1), 'r--', 'LineWidth', 1.5); xlabel('t'); ylabel('x(t)'); legend('幂级数解 (到 t^6)', '数值解 (ode45)', 'Location', 'northwest'); title('d²x/dt² = k/(x+1)² 的解比较'); grid on; ``` #### 脚本说明： 1. **参数调整**： - `k` 控制方程参数（默认 `k=1`） - `t_max` 控制时间范围（建议 ≤ 0.5，因幂级数在 `t` 较小时收敛） 2. **数值验证**： - 使用 `ode45` 求数值解作为基准[^1] - 初始条件 `[x(0); dx/dt(0)] = [0; 0]` 3. **结果可视化**： - 蓝线：幂级数解（到 \(t^6\) 项） - 红线：数值解（验证精度） #### 注意事项： - 当 \( t > 0.5 \) 时，高阶项影响显著，需增加级数项 - 分母 \((x+1)^2\) 在 \(x=-1\) 有奇点，但初始条件 \(x(0)=0\) 可避开 --- ### 相关问题 1. **幂级数法的收敛性如何证明？** 需通过余项估计或比较判别法分析收敛半径[^3]。 2. **如何处理更高阶非线性项（如 \( \sin(x) \)）？** 需展开非线性项为泰勒级数，例如： $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$$ 3. **MATLAB 中 `ode45` 的精度如何控制？** 通过 `AbsTol` 和 `RelTol` 选项调节误差容限[^1]，例如： ```matlab options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-8); [t, y] = ode45(ode_fun, [0 t_max], [0; 0], options); ``` [^1]: 引用 RK45 方法及误差控制参数（如 `atol`, `rtol`）[^1] [^3]: 引用微分方程线性/非线性分类标准[^3]