梯度下降法求解方程图像

### 使用梯度下降法求解方程并生成图像 #### 方法概述 梯度下降是一种优化算法，用于寻找目标函数的最小值。通过不断调整参数的方向来减少误差，最终收敛到最优解或局部最优解。以下是使用 Python 和 NumPy 实现梯度下降法求解方程 \( y = (x - 2)^2 \) 的极值点，并绘制其变化过程。 --- #### 示例代码实现 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义原函数及其导数 def function(x): """定义目标函数""" return (x - 2)**2 # 函数表达式 y = (x - 2)^2 def derivative(x): """定义目标函数的一阶导数""" return 2 * (x - 2) # 导数 dy/dx = 2*(x-2) # 初始化参数 initial_x = 16 # 初始猜测值 x0 learning_rate = 0.1 # 学习率 α threshold = 1e-5 # 收敛条件（阈值） max_iterations = 1000 # 最大迭代次数以防无限循环 # 记录每次迭代的结果 x_values, y_values = [], [] current_x = initial_x iteration_count = 0 while True: current_y = function(current_x) # 将当前 x 和对应的 y 添加到列表中以便后续绘图 x_values.append(current_x) y_values.append(current_y) iteration_count += 1 # 更新 x 值 next_x = current_x - learning_rate * derivative(current_x) # 如果两次连续更新之间的差异小于阈值，则认为已收敛 if abs(next_x - current_x) < threshold or iteration_count >= max_iterations: break current_x = next_x print(f'迭代次数: {iteration_count}') print(f'找到的极值点为 ({current_x}, {function(current_x)})') # 绘制函数曲线以及梯度下降路径 plt.figure(figsize=(8, 6)) x_range = np.linspace(-5, 20, 400) # 设置 x 轴范围 y_range = function(x_range) # 对应的目标函数值 plt.plot(x_range, y_range, label='Function $y = (x - 2)^2$', color='blue') plt.scatter(x_values, y_values, c=np.arange(len(x_values)), cmap='viridis', edgecolor='black', s=100, label='Gradient Descent Path') plt.title('Gradient Descent Optimization Process', fontsize=16) plt.xlabel('$x$ Value', fontsize=14) plt.ylabel('$y$ Value', fontsize=14) plt.legend(fontsize=12) plt.grid(True) plt.show() ``` --- #### 代码解释 1. **目标函数与导数** - `function` 是原始目标函数 \( y = (x - 2)^2 \)[^3]。 - `derivative` 是该函数的一阶导数 \( \frac{dy}{dx} = 2(x - 2) \)，表示斜率方向[^3]。 2. **初始化参数** - `initial_x`: 设定初始猜测值 \( x_0 \)。 - `learning_rate`: 控制每一步移动的距离大小。 - `threshold`: 当相邻两步间的差距小于此值时，视为已经接近极值点。 - `max_iterations`: 防止程序陷入死循环的最大允许迭代次数。 3. **核心逻辑** - 每次迭代根据公式 \( x_{n+1} = x_n - \alpha \cdot f'(x_n) \) 更新 \( x \) 值。 - 迭代终止条件：满足精度要求或者达到最大迭代次数。 4. **可视化部分** - 使用 Matplotlib 库绘制目标函数曲线和梯度下降过程中经过的点。 - 散点颜色随迭代次数渐变，直观展示优化轨迹。 --- #### 输出结果说明 运行上述代码后会打印出： - 总共进行了多少次迭代； - 找到了哪个位置作为近似极值点及其对应的目标函数值。 同时还会显示一张图表，其中蓝色线条代表目标函数形状，彩色散点则展示了梯度下降逐步逼近的过程。 ---