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牛顿法计算根号近似值

时间: 2025-02-11 07:20:36 浏览: 45

### 使用牛顿法计算平方根的近似值牛顿迭代法是一种高效的数值分析方法，可用于求解方程$f(x)=0$的根。当应用于求解$x=\sqrt{a}$时，可以通过构建特定形式的目标函数来简化问题[^1]。对于给定的一个非负实数$a$，目标是找到满足条件$r*r=a$的那个$r$。为此，定义辅助函数$f(r)=r^2-a=0$。根据牛顿迭代公式： \[ r_{n+1} = r_n - \frac{f(r_n)}{f'(r_n)}\] 其中$f'(r)$表示$f(r)$关于$r$的一阶导数。具体到本场景下，则有: \[ f(r) = r^2 - a,\quad f'(r) = 2r \] 从而得出更新规则为： \[ r_{new}=r-\frac{(r^{2}-a)}{2r}\] 进一步化简可得更简洁的形式： \[ r_{new}=(r+\frac{a}{r})/2\] 下面给出Python语言版本的具体实现方式： ```python def sqrt_newton(a, tolerance=1e-7): if a < 0: raise ValueError("Cannot compute square root of negative number.") guess = a / 2.0 while abs(guess * guess - a) > tolerance: guess = (guess + a / guess) / 2 return guess ``` 此代码片段实现了基于牛顿迭代法的平方根计算器。它接受两个参数：待开方数`a`以及误差容忍度`tolerance`。默认情况下，后者被设定为极小值以确保较高的精度。该算法不断调整初始估计值直到连续两次的结果差异小于指定阈值为止[^3]。

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