# [信息与未来 2019] 新斐波那契数列 ## 题目描述 给定正整数 $a(a\ge1)$，新斐波那契数列 $f_a$ 按如下方式定义： - $f_a(1) = 1$； - $f_a(2) = a$； - $f_a(n) = f_a(n − 1) + f_a(n − 2)\ (n > 2)$。 例如，给定 $a = 4$，有 $f_4(1) = 1, f_4(2) = 4, f_4(3) = 5, f_4(4) = 9, f_4(5) = 14, \cdots$ 现在已知新斐波那契数列中的一项 $x$，但并不知道 $n$ 和 $a$ 的值是多少。请你求出所有可能的 $n,a(n\ge2)$ 满足 $f_a(n) = x$。 ## 输入格式 你需要在一个测试数据中处理多个新斐波那契数列问题。输入第一行 $T$ 表示问题的数量。 接下来 $T$ 行， 每行一个整数：待求解的 $x$。 ## 输出格式 对于每个新斐波那契数列问题，按照 $n$ 从小到大的顺序，输出所有可能的 $n,a$ 满足 $f_a(n) = x$。每行输出一对 $n$ 和 $a$，由一个空格分隔。 ## 样例 #1 ### 样例输入 #1 ``` 2 9 123 ``` ### 样例输出 #1 ``` 2 9 3 8 4 4 2 123 3 122 4 61 6 24 10 3 ``` ## 提示 对于 $60\%$ 的测试数据，有 $1\le x\le10^6$。 对于 $100\%$ 的测试数据，有 $2\le x\le10^9,1\le T\le20$。 > 本题原始满分为 $15\text{pts}$。

以下是一种时间复杂度为 $O(\log x)$ 的解法，可以通过本题： ```c++ #include <iostream> #include <vector> using namespace std; bool isPerfectSquare(int x) { int a = sqrt(x); return a * a == x; } bool check(int n, int a, int x) { if (n == 1) { return a == 1 && x == 1; } if (n == 2) { return a == x; } int f1 = 1, f2 = a, fn; for (int i = 3; i <= n; i++) { fn = f1 + f2; if (fn > x) { return false; } f1 = f2; f2 = fn; } return fn == x; } vector<pair<int, int>> findNa(int x) { vector<pair<int, int>> result; for (int a = 1; ; a++) { if (isPerfectSquare(5 * a * a + 4 * x) || isPerfectSquare(5 * a * a - 4 * x)) { int n1 = 2 * a - 1, n2 = 2 * a + 1; if (check(n1, a, x)) { result.push_back(make_pair(n1, a)); } if (check(n2, a, x)) { result.push_back(make_pair(n2, a)); } } if (a * a >= x) { break; } } return result; } int main() { int T; cin >> T; while (T--) { int x; cin >> x; vector<pair<int, int>> result = findNa(x); for (int i = 0; i < result.size(); i++) { cout << result[i].first << " " << result[i].second << endl; } } return 0; } ``` 在这个算法中，我们首先定义一个函数 isPerfectSquare，用于判断一个数是否是完全平方数。然后，我们定义一个函数 check，用于判断给定的 n 和 a 是否满足 $f_a(n) = x$。在 check 函数中，我们使用两个变量 f1 和 f2 分别表示斐波那契数列中的前两个数，然后依次计算斐波那契数列中的第 n 个数 fn，并判断 fn 是否等于 x。最后，我们定义一个函数 findNa，用于找到所有可能的 n 和 a 满足 $f_a(n) = x$。在 findNa 函数中，我们先枚举 a 的值，并判断式子 $5a^2 \pm 4x$ 是否为完全平方数。如果是，我们就计算出对应的 n1 和 n2 值，并调用 check 函数判断 n1 和 n2 是否满足题目要求。最后，我们将满足题目要求的 n 和 a 存储在一个 vector 中，并返回结果即可。