信息学奥赛一本通1213八皇后问题

### 关于信息学奥赛一本通 1213 题——八皇后问题 #### 八皇后问题概述 八皇后问题是经典的回溯算法应用之一。该问题的目标是在 $8 \times 8$ 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不能互相攻击。由于皇后的移动规则可以沿着横线、竖线以及两条斜线方向无限延伸，因此需要满足以下条件： - 同一行最多只能有一个皇后； - 同一列最多只能有一个皇后； - 左右对角线上也最多只能有一个皇后。 为了实现这一目标，通常采用递归加回溯的方法来枚举所有可能的解，并验证其合法性[^3]。 --- #### 解法描述 ##### 数据结构设计 定义一个数组 `queen[8]` 来记录每一行中皇后所在的列号。例如，如果第 i 行中的皇后位于 j 列，则有 `queen[i] = j`。这样可以通过简单的索引来表示整个棋盘的状态。 ##### 算法核心逻辑 利用递归来逐层尝试每一种可能性，在每次递归调用之前判断当前状态是否合法（即是否存在冲突），如果不合法则立即返回；否则继续向下一层扩展直到找到完整的解决方案为止。 具体来说： - 使用三个布尔型辅助数组分别标记哪些列已被占用 (`col[]`) ，左上方至右下方对角线被占用的情况(`diag1[]`) 和右上方至左下方对角线被占用情况(`diag2[]`)。 - 对于每一个位置 (i,j)，只需检查对应列及两条对角线是否为空即可决定能否在此处安放新皇后。 以下是基于以上原理的具体实现代码示例： ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 8; int queen[N]; // 存储每一行皇后所在列的位置 bool col[N], diag1[2 * N], diag2[2 * N]; int count_solutions = 0; void printSolution() { cout << "No. " << ++count_solutions << endl; for(int row=0;row<N;++row){ for(int column=0;column<N;++column){ if(queen[row]==column)cout<<"1 "; else cout<<"0 "; } cout<<endl; } } void solve(int row) { if(row == N){ printSolution(); return ; } for(int column=0;column<N;++column){ if(!col[column] && !diag1[row-column+N] && !diag2[row+column]){ queen[row]=column; col[column]=true; diag1[row-column+N]=true; diag2[row+column]=true; solve(row+1); col[column]=false; diag1[row-column+N]=false; diag2[row+column]=false; } } } int main(){ memset(col,false,sizeof(col)); memset(diag1,false,sizeof(diag1)); memset(diag2,false,sizeof(diag2)); solve(0); return 0; } ``` 此程序实现了基本功能并按照指定格式打印出所有的可行布局方案。 --- #### 总结 通过上述方法能够有效地解决八皇后问题。它不仅展示了如何运用深度优先搜索策略解决问题的能力，同时也体现了合理设置标志位的重要性以减少不必要的计算量从而提高效率。 --- 相关问题