#p1378. 油滴扩展

### 关于 P1378 油滴扩展 的算法解析 #### 问题描述 在一个矩形框内，存在至多 N（0 ≤ N ≤ 6）个互不相同的点。在这些点上依次放置油滴，每个油滴会不断扩张直至接触其他已存在的油滴或矩形边界的限制为止。目标是找到一种最优的放置顺序，使得最终所有油滴覆盖的总面积最大化。 此问题的核心在于如何计算每一个油滴能够达到的最大半径以及如何通过合理的排列组合实现面积最大化的策略[^1]。 #### 算法分析 为了求解该问题，需考虑以下几个方面： 1. **单个油滴可扩展的最大半径** 对于任意一点 \(i\) ，其能扩展到的最大半径由两部分决定：一是它离最近矩形边界的距离；二是它与其他已有油滴之间的最小安全距离减去那些油滴自身的半径。具体而言， \[ r_i = \min\left(\text{dist\_to\_boundary}, \min_{j} (\text{distance}(i,j)-r_j)\right), \] 其中 `dist_to_boundary` 表示从点 \(i\) 到矩形四条边中的最短距离，而第二项则遍历所有已经放置并具有固定半径 \(r_j\) 的油滴来确定【\(i\)】与它们之间允许的最大间隔[^2]。 2. **穷举所有可能的放置序列** 给定最多只有六个点的情况，可以通过暴力枚举所有的排列方式来尝试每种可能性下的总覆盖面积，并记录下最大的那个结果。由于数据规模较小(N<=6)，这种方法的时间复杂度是可以接受的(O(n!))。 3. **优化方向** 虽然直接采用全排列的方法简单易懂，但在实际编码过程中也可以加入一些剪枝操作减少不必要的计算量。比如当发现当前路径无论如何都无法超越现有最佳方案时即可提前终止这条分支的探索。 以下是基于以上逻辑的一个C++程序框架实例: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct Point { int x, y; }; double xa, ya, xb, yb; // 边界坐标 Point points[7]; bool used[7]; // 是否已被使用标志数组 int n; // 总共有点数n vector<int> order; // 当前处理次序 double radii[7]; // 各点对应半径 double best_area = 0; // 记录全局最优解 inline double dist_sq(Point a, Point b){ return pow(a.x-b.x,2)+pow(a.y-b.y,2); } // 获取某点能取得的最大合法半径平方值 double getMaxRadiusSq(int idx){ double res = min({abs(points[idx].x-xa), abs(points[idx].x-xb), abs(points[idx].y-ya), abs(points[idx].y-yb)}); for(int j=0; j<n; ++j){ if(!used[j]) continue; double d = sqrt(dist_sq(points[idx],points[j])); res = min(res,d-radii[j]); } return max(0.,res*res); } void dfs(int step){ if(step==n+1){ double area_sum = 0.; memset(radii,0,sizeof(radii)); for(auto id : order){ radii[id]=sqrt(getMaxRadiusSq(id)); area_sum += M_PI*radii[id]*radii[id]; } best_area=max(best_area,area_sum); return ; } for(int i=0;i<n;++i){ if(!used[i]){ used[i]=true; order.push_back(i); dfs(step+1); order.pop_back(); used[i]=false; } } } int main(){ cin>>xa>>ya>>xb>>yb; cin>>n; for(int i=0;i<n;i++)cin>>points[i].x>>points[i].y; dfs(1); printf("%.2f\n",best_area); } ``` #### 结论 综上所述，对于洛谷上的这道题目(P1378 油滴扩展)，我们采取了一种先定义函数获取各位置理论上可达极限尺寸再利用回溯技术寻找整体效益最高的摆放次序的方式予以解答。这种方式既直观又有效率，在限定条件下表现良好[^1]。