matlab色散关系求解水波波长

### 使用 MATLAB 计算水波的色散关系和波长 在MATLAB环境中，可以通过定义并求解色散方程来计算水波的色散关系以及相应的波长。具体过程涉及创建一个名为 `dispersion_relation` 的函数用于求解给定频率下的波数 \( k \)，进而根据波数与波长的关系得到波长。 #### 定义色散关系函数 首先，在MATLAB中定义色散关系函数如下： ```matlab function omega = dispersion_relation(k, h, g) % 色散关系函数 % 输入参数: % k - 波数 (rad/m) % h - 水深 (m) % g - 重力加速度，默认取9.81 m/s^2 if nargin < 3 g = 9.81; % 默认重力加速度值 end omega = sqrt(g * k * tanh(k * h)); end ``` 此函数实现了理想流体下无限深度或有限深度水面波动的线性化理论中的基本色散关系表达式[^1]。 #### 解决非线性方程寻找波数 为了由已知的角频率 \( \omega \) 反推对应的波数 \( k \)，可以采用数值方法解决该隐含形式的逆问题。这里推荐使用内置优化工具箱里的 `fzero()` 函数来进行一维根查找操作： ```matlab % 假设我们已经知道了某个具体的角频率 omega 和水深 h omega_known = ... ; % 已知角频率 water_depth = ... ; % 海域平均水深 k_initial_guess = omega_known / water_depth; [k_solution, ~] = fzero(@(k) dispersion_relation(k, water_depth) - omega_known, k_initial_guess); wavelength = 2*pi/k_solution; fprintf('The wavelength corresponding to the given frequency is %.2fm\n', wavelength); ``` 上述代码片段展示了如何基于指定的角频率找到匹配的波数，并进一步转换成实际物理意义下的波长单位米(m)。 #### 绘制色散曲线 最后，利用循环结构遍历一系列离散化的频率点集合作为输入变量传递给之前建立好的模型，从而批量获取各频谱分量所对应的空间尺度特征——即形成完整的色散特性图表；这有助于更直观理解两者间的变化规律及其潜在影响因素。 ```matlab figure(); hold on; for w = linspace(min_frequency, max_frequency, num_points) [~, k_val] = fzero(@(k) dispersion_relation(k, avg_water_depth) - w, initial_k_guess); plot(w/(2*pi), 2*pi./k_val, '.'); end xlabel('Frequency [Hz]'); ylabel('Wavelength [m]'); title('Dispersion Relation of Water Waves'); grid minor; legend({'Calculated Dispersion Curve'}); hold off; ``` 这段脚本会生成一张二维坐标系内的图形文件，横轴表示普通意义上的周期性振动次数每秒（赫兹），纵轴则代表相应条件下形成的稳定表面扰动长度尺寸范围变化情况。