正实数A的平方根可视为f(x)=x^2-A的零点，用牛顿法求解13的平方根，要求迭代误差小于10^-8 注：初值x0尽量靠近√13，可取小数点后1位作为初值。

<think>好的，我现在需要解决用户的问题：使用牛顿法计算13的平方根，直到迭代误差小于10^-8，并且初值要选接近sqrt(13)的小数点后一位。首先，我得回忆一下牛顿迭代法的基本步骤和公式。 牛顿法用于求方程的根，而求平方根的问题可以转化为求方程f(x) = x² - a = 0的根，这里的a就是13。所以，我们需要找到f(x)=0的解，也就是x=√13。 牛顿迭代的公式是xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f’(xₙ)。这里的f(x)是x² -13，导数f’(x)=2x。代入公式的话，迭代式应该是xₙ₊₁ = (xₙ + 13/xₙ)/2，这其实是求平方根的经典牛顿迭代式。 接下来是初值的选取。用户要求初值接近√13且小数点后一位。首先，我需要估算√13的大致值。已知3²=9，4²=16，所以√13在3和4之间。再仔细算，3.6²=12.96，3.7²=13.69。所以√13在3.6到3.7之间。因为3.6²=12.96比13小，而3.7²超过13，所以√13约等于3.6055左右。所以接近的小数点后一位的初值应该是3.6或者3.7？这里需要注意，用户说的“接近”可能是指四舍五入到小数点后一位后的数值。比如，3.6055四舍五入到一位小数是3.6，所以初值应该选3.6吗？ 不过可能用户希望选取一个更接近的近似值，比如比如，假设用户希望初值是3.6，因为3.6是小数点后一位的数值中最接近的。所以确定初值为x₀=3.6。 接下来，迭代过程需要计算x₁, x₂,...直到误差小于1e-8。这里的误差可能是指相邻两次迭代的差的绝对值，或者当前解与真实值的差的绝对值。通常牛顿法的终止条件可以用相邻两次迭代的差来判断，所以这里应该用|xₙ₊₁ - xₙ| < 1e-8。 然后，编写迭代步骤。例如，从x₀=3.6开始： x₁ = (3.6 + 13/3.6)/2 → 计算13/3.6=3.611111...，加上3.6等于7.211111...，除以2得3.605555... 误差是|3.605555... -3.6|=0.005555...，大于1e-8，继续迭代。 计算x₂=(3.605555... +13/3.605555...)/2 → 13除以3.605555大约是3.605551，相加除以2得到大约3.60555128。此时误差是|x₂ -x₁|=约0.000004，还是大于1e-8？ 继续迭代，x3=(3.60555128 +13/3.60555128)/2。计算13/3.60555128≈3.605551275，相加除以2得到3.605551275。此时误差|x3 -x2|≈5e-8？或者可能更小？需要具体计算每一步的值，直到满足条件。 现在需要确定迭代次数和具体的计算过程。为了准确，可能需要用更精确的计算步骤，或者写代码来验证。但用户可能需要手动步骤或者Python代码示例？ 另外，用户可能希望得到具体的迭代步骤以及最终的近似值，以及如何判断停止条件。同时，要确保正确应用牛顿法的公式，并且初值的选取是否合理。比如，如果初值选3.6是否正确，是否会影响收敛速度。根据引用中的例子，比如引用2中的x0=2.0求x²-4的根，收敛很快，而引用3中不同的初值对收敛性有影响，所以这里初值3.6应该足够接近，能够保证收敛。 最后，需要将整个过程整理成中文回答，包括步骤、公式、可能的代码示例，并生成相关问题。同时，根据系统级指令，数学表达式要用$...$或$$...$$，代码用代码块，引用文献的标识要正确添加。</think>### 使用牛顿法计算13的平方根 #### 1. 问题转化 将求平方根问题转化为方程求解： $$ f(x) = x^2 - 13 = 0 $$ 牛顿迭代公式为： $$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{13}{x_n} \right) $$ #### 2. 初值选取 已知 $3.6^2 = 12.96$，$3.7^2 = 13.69$，因此 $\sqrt{13} \approx 3.6055$。根据要求，初值选择**小数点后一位**的近似值，取 $x_0 = 3.6$。 #### 3. 迭代过程 **终止条件**：相邻两次迭代误差 $|x_{n+1} - x_n| < 10^{-8}$。 迭代步骤如下： 1. **第1次迭代**： $$ x_1 = \frac{1}{2} \left( 3.6 + \frac{13}{3.6} \right) \approx 3.6055555556 $$ 误差：$|x_1 - x_0| \approx 0.0055555556$ 2. **第2次迭代**： $$ x_2 = \frac{1}{2} \left( 3.6055555556 + \frac{13}{3.6055555556} \right) \approx 3.6055512756 $$ 误差：$|x_2 - x_1| \approx 4.279 \times 10^{-6}$ 3. **第3次迭代**： $$ x_3 = \frac{1}{2} \left( 3.6055512756 + \frac{13}{3.6055512756} \right) \approx 3.6055512755 $$ 误差：$|x_3 - x_2| \approx 1.0 \times 10^{-11}$ **结果**：经过3次迭代，误差满足条件，$\sqrt{13} \approx 3.6055512755$。 #### 4. Python代码实现 ```python def newton_sqrt(a, x0, tolerance=1e-8, max_iter=100): x = x0 for _ in range(max_iter): x_next = 0.5 * (x + a / x) if abs(x_next - x) < tolerance: return x_next x = x_next return x result = newton_sqrt(13, 3.6) print(f"平方根近似值: {result:.10f}") ``` #### 5. 初值对收敛的影响 若初值更接近真实值（如 $x_0=3.6$），收敛速度更快；若初值偏离较大（如 $x_0=1.0$），可能需要更多迭代次数[^3]。