二元对称信道 信息率失真函数计算

### 计算二元对称信道的信息率失真函数 对于二元对称信道（Binary Symmetric Channel, BSC），其信息率失真函数 \( R(D) \) 是描述在给定失真水平下所需的最小平均互信息量。BSC 的输入和输出均为两个可能的状态，通常表示为 0 和 1。 #### 定义 设输入随机变量 \( X \in \{0, 1\} \)，输出随机变量 \( Y \in \{0, 1\} \)，以及交叉概率 \( p \) 表示错误传递的概率，则 BSC 可由条件分布 \( P(Y|X) \) 描述： \[ P(Y=1 | X=0) = P(Y=0 | X=1) = p \] 假设重构字母表与源相同，即 \( \hat{X} \in \{0, 1\} \)，并定义汉明失真度量 \( d(x, \hat{x}) \): \[ d(0, 0) = d(1, 1) = 0,\quad d(0, 1) = d(1, 0) = 1 \] 则失真约束可以写成期望形式： \[ D = E[d(X, \hat{X})] = Pr[X \neq \hat{X}] \] #### 信息率失真函数表达式 通过优化联合分布 \( P(\hat{X}|X) \) 来满足失真约束 \( D \)，得到如下公式[^2]: \[ R(D) = H(p_D) - H(D), \text{当 } h^{-1}(D) \leq p \leq 0.5 \] 其中， - \( H(q) = -q \log_2 q - (1-q)\log_2(1-q) \) 是二进制熵函数； - \( p_D = \min(h^{-1}(D), p) \); - \( h^{-1}() \) 是二进制熵函数的反函数。 如果 \( p < h^{-1}(D) \)，那么 \( R(D) = 0 \)[^3]。 #### Python 实现代码 以下是用于计算 \( R(D) \) 的 Python 函数实现： ```python import numpy as np def binary_entropy(q): """Calculate the binary entropy function.""" if q == 0 or q == 1: return 0 return -(q * np.log2(q) + (1 - q) * np.log2(1 - q)) def rate_distortion_function_bsc(D, p): """ Calculate the rate-distortion function for a Binary Symmetric Channel. Parameters: D : float Distortion level between 0 and min(p, 1-p). p : float Crossover probability of the channel (p <= 0.5). Returns: R(D) : float Rate distortion value at given distortion D. """ if not (0 <= D <= min(p, 1 - p)): raise ValueError("Distortion must be within [0, min(p, 1-p)]") pd = min(np.power(2, -binary_entropy(D)), p) RD = binary_entropy(pd) - binary_entropy(D) return RD # Example usage p_channel = 0.1 # crossover probability distortion_level = 0.05 RD_value = rate_distortion_function_bsc(distortion_level, p_channel) print(f"Rate-Distortion Value R({distortion_level}) = {RD_value}") ```