将函数f(x)=1/(x^2+x-6)展开成x+2的幂级数

<think>嗯，用户问的是如何将函数f(x)=1/(x²+x−6)展开成以x+2为中心的幂级数。首先，我需要回忆一下幂级数展开的方法，通常是用泰勒展开或者洛朗展开，但这里应该是泰勒展开，因为函数在某个点附近解析的话可以用泰勒级数。不过，先得确定展开的可行性，比如函数在这个点是否解析，有没有奇点。 首先，函数的分母是x²+x−6，可以分解一下。让我先分解分母：x²+x−6=(x+3)(x−2)，所以f(x)=1/[(x+3)(x−2)]。接下来，展开中心是x=-2，也就是以x+2为中心，所以需要将表达式转换成关于t=x+2的形式，即x = t - 2，其中t是新的变量，展开点t=0。 代入的话，分母变成(t−2+3)(t−2−2)= (t+1)(t−4)。所以f(x)可以表示为1/[(t+1)(t−4)]，即t=x+2。现在需要把这个表达式分解成部分分式，可能更容易处理。假设1/[(t+1)(t−4)] = A/(t+1) + B/(t−4)，解出A和B的值。通过通分得到1 = A(t−4) + B(t+1)。令t=4，得到1 = B(5)，所以B=1/5。令t=-1，得到1 = A(-5)，所以A=-1/5。因此，原式可以写成(-1/5)/(t+1) + (1/5)/(t−4)，也就是(-1/5)/(x+2+1) + (1/5)/(x+2−6)？不对，可能哪里算错了。因为原来的分母在代入t=x+2后应该是(t+1)(t−4)，所以分解后的分式是A/(t+1) + B/(t−4)，解得A=-1/5，B=1/5。所以正确的表达式应该是(-1/5)/(t+1) + (1/5)/(t−4)，其中t=x+2。 接下来，每个分式需要展开成幂级数。对于第一个分式-1/(5(t+1))，也就是-1/(5(x+2+1))，也就是-1/(5(x+3))，但以t为中心的话，可能更方便的是写成关于t的表达式。比如，第一个分式是-1/(5(t+1))，可以写成-1/(5*(1 + t))，然后利用1/(1 + t)的几何级数展开，当|t| < 1时，展开为Σ(-1)^n t^n，对吗？不过原式是1/(1 + t)的展开式是Σ (-1)^n t^n，当|t|<1。所以这里的t是x+2，所以展开条件是|x+2| < 1。 第二个分式是1/(5(t−4))，即1/(5*(t−4))，可以转化为-1/(20*(1 - t/4))，因为提出来-4，变成-1/(5*4*(1 - t/4))= -1/(20*(1 - t/4))。这样可以利用1/(1 - t/4)的几何级数展开，当|t/4| <1，即|t| <4。所以展开式是Σ (t/4)^n，所以整个分式是-1/(20) Σ (t/4)^n = -1/(20) Σ t^n /4^n = - Σ t^n/(20*4^n)。或者可能需要重新计算符号。原式是1/(t−4) = -1/(4 - t) = -1/(4(1 - t/4))，所以展开为-1/(4) Σ (t/4)^n，当|t/4|<1，即|t|<4。所以第二个分式是(1/5)*[-1/(4) Σ (t/4)^n ] = -1/(20) Σ (t/4)^n，对吗？所以合并起来的话，整个表达式是 (-1/(5(t+1))) + (1/(5(t−4))) = (-1/5) * [1/(1 + t)] + (1/5)*[-1/(4 - t)]，对吗？可能需要再仔细核对。 不过现在的问题是两个分式有不同的收敛域。第一个分式的展开条件是|t| <1，即|x+2| <1；第二个分式的展开条件是|t| <4，即|x+2| <4。所以整体的收敛域是两者的交集，即|x+2| <1，因为1比4更严格。 因此，最终的幂级数展开式是两个分式展开后的和。所以将两个几何级数相加，得到相应的表达式。然后需要将两个级数合并，可能写成通项的形式。或者分别写出每个分式的展开式，然后合并系数。 比如，第一个分式展开为-1/(5) * Σ (-1)^n t^n，第二个分式展开为-1/(20) Σ (t/4)^n。然后合并这两个级数，得到各项的系数。例如，对于每个n，系数是 (-1/5)(-1)^n + (-1/(20))(1/4^n)。然后整体乘以t^n，即(x+2)^n。这样组合起来就是幂级数的展开式。 不过可能用户希望得到更简洁的通项式，或者分开写出两个级数的和。另外，需要检查是否有计算错误，特别是在部分分式的分解和级数展开的符号处理上。 另外，可能还有另一种方法，直接使用泰勒公式计算各阶导数在x=-2处的值，但这样可能比较繁琐，因为高阶导数计算麻烦。而部分分式结合几何级数的方法更简便。 总结步骤应该是：分解分母为部分分式，变量替换t=x+2，将每个分式转换为几何级数形式，确定收敛域，然后将两个级数相加得到最终结果。</think>函数$f(x)=\frac{1}{x^2+x-6}$展开为以$x=-2$为中心的幂级数可通过以下步骤实现： **1. 分母因式分解与部分分式展开** 将分母分解为$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，通过部分分式分解： $$\frac{1}{(x+3)(x-2)} = \frac{-1/5}{x+3} + \frac{1/5}{x-2}$$ **2. 变量代换处理** 令$t=x+2$即$x=t-2$，代入表达式： $$ \begin{aligned} \frac{-1/5}{(t-2)+3} + \frac{1/5}{(t-2)-2} &= \frac{-1/5}{t+1} + \frac{1/5}{t-4} \\ &= \frac{-1}{5(t+1)} + \frac{1}{5(t-4)} \end{aligned} $$ **3. 几何级数展开** (1) 第一项$\frac{-1}{5(t+1)}$的展开： $$\frac{-1}{5} \cdot \frac{1}{1-(-t)} = \frac{-1}{5} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^n \quad (|t|<1)$$ (2) 第二项$\frac{1}{5(t-4)}$的展开： $$ \begin{aligned} \frac{1}{5} \cdot \frac{-1}{4(1-t/4)} &= \frac{-1}{20} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{t}{4} \right)^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-t^n}{20 \cdot 4^n} \quad (|t|<4) \end{aligned} $$ **4. 合并级数表达式** 将两式相加并代回$t=x+2$： $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n+1}}{5} + \frac{-1}{20 \cdot 4^n} \right] (x+2)^n $$ **收敛域确定** 要求$|x+2|<1$（由第一项的收敛条件限制） 代码验证部分分式分解： ```python from sympy import apart, symbols x = symbols('x') f = 1/(x**2 + x -6) print(apart(f)) ```