7-1 求赤道上两点的球面距离 分数 10 全屏浏览 作者 巨同升 单位 山东理工大学 已知地球的赤道半径为6378.137千米，并已知东半球赤道上两点的经度（单位为度），编写程序计算这两点之间的球面距离是多少千米。要求所有的实数使用double类型，圆周率的近似值取3.141592653589793。 提示：赤道上两点之间的球面距离，就是赤道上两点之间劣弧的长度。 输入格式: 在一行中输入两个代表经度的非负实数，以空格分隔。 输出格式: 输出球面距离的值，保留3位小数，最后换行。

<think>嗯，我现在要解决这个问题，题目是求赤道上两点的球面距离。首先，我得仔细理解题目要求。题目给出赤道的半径是6378.137千米，输入是两个东半球的经度值，要计算这两点之间的球面距离，也就是赤道上的劣弧长度。输出要保留三位小数。 首先，赤道是一个圆，半径为R=6378.137。两点在赤道上，所以它们的纬度都是0度，经度分别是给定的两个值。那么这两点在赤道圆上的距离就是沿着圆弧的最短路径，也就是劣弧的长度。这应该等于圆心角（弧度）乘以半径。 那如何计算这两个经度之间的圆心角呢？这里需要注意经度的范围。东半球的经度范围是东经0度到东经180度吗？或者题目中的“东半球”可能指的是东经的范围，比如可能题目中的两个经度都是东经，比如东经0到180之间。那输入的经度应该是在东半球，所以可能都是0到180之间的数值？ 不过不管东半球的具体定义，题目给出的两个经度值都是东半球的，所以它们的经度应该是在同一半球，不需要考虑跨越东西半球的情况。但具体计算的时候，可能需要先计算两者的经度差，然后取绝对值，再考虑是否要转成较小的那个圆心角。比如，如果两个点的经度差是350度，那么实际的最短圆心角应该是10度，因为360-350=10。所以这个时候应该取两者的差的绝对值和360减去该绝对值的较小值。 所以步骤应该是： 1. 读取两个经度值，设为A和B。 2. 计算它们的经度差Δλ = |A - B|。 3. 因为经度是环形的，360度一个周期，所以实际的有效差值是min(Δλ, 360 - Δλ)。但题目中给出的是东半球的点，所以可能输入的经度都是0到180之间的，所以两者的差值不会超过180度？或者可能输入的两个经度可能超过东半球的范围？这点需要仔细看题目。题目描述中说“东半球赤道上的两点”，所以可能这里的东半球指的是经度范围是东经0度到东经180度？或者可能题目中的东半球是指东经的范围，所以输入的经度可能在0到180度之间？ 但不管怎样，正确的处理方式是计算它们的差值，然后取绝对值，然后取360度中的最短弧度。例如，如果两点经度差是200度，那么实际圆心角应该是160度，因为200度比360-200=160大，所以取较小的那个。所以正确的做法是取Δ = |A - B|，然后如果Δ>180，则取360 - Δ作为实际的圆心角度数差。否则取Δ。 比如，A是10度，B是350度，那么Δ=340度，但实际圆心角是20度。这时候正确的差是20度。所以正确的处理方式是差值Δ = |A - B| % 360，然后如果Δ >180，则取360-Δ，否则取Δ。或者等价于取min(Δ, 360 - Δ)。 但是题目中的输入是否允许超过360度的经度？比如输入的经度可能是400度这样的？题目中说“经度的非负实数”，所以有可能输入的数据大于360。这时应该先对经度进行取模，转化为0到360之间的数值。例如，400度的话模360得到40度。所以处理输入的经度时，应该先取模360，确保在0到360范围内。然后再计算两者的经度差。 所以步骤应该是： 1. 输入两个经度值，假设为lon1和lon2。 2. 将lon1和lon2转换为0-360之间的数值，通过取模360。例如，lon1 = lon1 % 360，lon2同理。 3. 计算两者的差值的绝对值Δ = |lon1 - lon2|。 4. 如果Δ > 180度，那么实际的圆心角是360 - Δ。否则，就是Δ。 5. 这样得到的圆心角是度数，需要转换为弧度，乘以π/180。 6. 球面距离就是R * θ（弧度）。 所以现在需要考虑如何处理输入的数据。例如，输入的两个经度是否可能大于360？比如输入370度，则模360后是10度。所以不管输入的是什么，先模360处理，再计算差值。 比如，输入的两个经度是10和350，模后还是10和350。差值是340，大于180，所以实际圆心角是20度。转换成弧度是20 * π / 180 = π/9。球面距离是R * π/9。 那现在，需要将这些步骤用代码实现。 代码的大致流程： 读取输入的两个double数值，lon1和lon2。 处理lon1和lon2，取模360： lon1 = lon1 % 360.0; lon2 = lon2 % 360.0; 然后计算Δ = abs(lon1 - lon2)。如果Δ > 180，则θ = 360 - Δ；否则θ = Δ。 将θ转换为弧度：theta_rad = θ * π / 180.0; 球面距离distance = R * theta_rad。 然后输出保留三位小数。 但是这里需要注意，当两个经度差正好是180度时，这时候圆心角是180度，此时球面距离是半圆周长，即πR。 例如，输入的两个经度是0和180，处理后差值是180，所以圆心角是180度，转换为弧度是π，距离是R*π。 那现在，如何实现这个逻辑？ 在代码中，可以用： delta = fabs(lon1_processed - lon2_processed); if (delta > 180.0) { delta = 360.0 - delta; } theta = delta; theta_rad = theta * PI / 180.0; distance = R * theta_rad; 这样是否正确？ 是的。例如，当delta是200，那么delta会被修正为160，即正确的圆心角。如果是340，修正为20。如果是180，则保持180，这样计算出来的距离是半圆周长。 那现在，如何处理输入的lon1和lon2的取模？例如，对于负数的情况，题目中说输入的是非负实数。所以无需处理负数的情况。但是输入的可能例如是450度，模360后是90度。 在C++中，取模运算对浮点数的处理可能需要用fmod函数。例如，lon1的处理可以用fmod(lon1, 360.0)。但需要注意，当输入的是负数时，fmod的结果可能为负，但题目中的输入是非负实数，所以不需要处理这种情况。 例如，输入的是370，fmod(370, 360)=10.0；输入的是720，fmod(720, 360)=0.0。输入的是30，fmod(30, 360)=30.0。所以正确。 所以代码中的处理步骤： lon1 = fmod(lon1_input, 360.0); lon2 = fmod(lon2_input, 360.0); 这样，确保两者的经度都在0到360度之间。 那么现在，整个逻辑是正确的。 现在，代码的大致结构： #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { double lon1, lon2; scanf("%lf %lf", &lon1, &lon2); const double R = 6378.137; const double PI = 3.141592653589793; // 处理经度到0-360之间 lon1 = fmod(lon1, 360.0); lon2 = fmod(lon2, 360.0); double delta = fabs(lon1 - lon2); if (delta > 180.0) { delta = 360.0 - delta; } double theta_rad = delta * PI / 180.0; double distance = R * theta_rad; printf("%.3f\n", distance); return 0; } 那这个代码是否正确？ 测试几个例子： 比如，输入0 0，输出0.000。 输入0 180，delta是180，不调整，theta_rad=π，距离R*π=6378.137*3.141592653589793≈20037.557（大约）。但实际计算的话： 6378.137 * 3.141592653589793 ≈ ? 用计算器计算：6378.137 * π ≈ 6378.137 *3.141592653589793=20037.557 km。这应该是半圆周长，所以正确。 另一个例子，输入0和90度，差90度，转换为弧度是π/2，距离是R*(π/2)=6378.137*1.5708≈10018.77 km。保留三位小数是10018.778？ 或者更精确计算的话： 6378.137 * (90 * 3.141592653589793 / 180) = 6378.137 * 1.5707963267948966 ≈ 6378.137 * 1.5707963267948966 = 6378.137 × 1.5707963267948966 ≈ 6378.137 × 1.5707963267948966 ≈ 6378.137 × 1.5707963267948966: 先计算 6000*1.5707963267948966= 9424.7779607683778 378.137 ×1.5707963267948966≈ 378.137 ×1.5708≈ 378.137 ×1.5=567.2055， 378.137×0.0708≈26.79，总和约593.9955。总和总的是9424.7779+593.9955≈10018.7734，所以三位小数是10018.773，输出10018.773。 那程序会正确输出。 另一个测试案例，输入的两个经度是350和10。处理后的经度是350和10，差是340。因为340>180，所以delta=20度。转换为弧度是20 * π/180 = π/9 ≈0.349066 radians。距离是6378.137 ×0.349066≈ 6378.137×0.349066≈2225.263。三位小数是2225.263。 程序是否正确处理这种情况？ 是的，因为输入350和10会被处理为350和10，差是340，大于180，所以delta=20度。然后计算正确。 另一个情况，输入的是370度和730度。370模360是10度，730模360是730-2*360=730-720=10度。所以两者都是10度，差为0，距离0。 所以程序正确处理。 那现在，代码应该没有问题。需要注意，题目中的输入是东半球的经度，但是根据题目中的处理，输入的两个经度可以是任何非负实数，但处理后的经度可能超出东半球的范围？比如，输入的是200度，那处理后是200度，属于东半球吗？ 题目中说东半球的两点，所以可能输入的两个经度都在东半球范围内。但题目可能并不检查输入是否符合，而只是假设输入的是东半球的经度。但根据题目中的描述，用户输入的是东半球赤道上的两点的经度，所以输入的两个值可能在0到180之间？或者题目中的东半球是否指东经0到东经180？ 假设题目中的东半球是指东经范围，所以输入的经度应该在0到180度之间。因此，当处理后的经度可能超过180时，比如输入的是190度，模360之后是190，可能属于西半球？ 但题目中给出的输入是否可能超出东半球范围？题目描述中说“东半球赤道上的两点”，所以输入的经度应该已经属于东半球。但程序是否需要进行检查？题目中的输入格式描述中并没有限制，所以用户可能输入任何非负实数，但程序需要按照正确的数学处理，不管是否属于东半球。 例如，输入的经度可能是东半球的，如0到180度。比如，输入两个经度分别是30和150，差120度，正确计算。如果输入的是东经200度，这实际上是西经160度（因为200-180=20，所以东经200度属于西半球？或者东半球的定义是否是0到东经160？这可能要看题目的定义。但题目中可能认为东半球的范围是东经0到东经180度，所以输入的经度可能在0到180之间。但根据题目中的提示，程序不需要处理这种情况，只需要正确计算两者的经度差，不管是否属于东半球。所以程序无需判断输入是否属于东半球，而是直接计算即可。 综上，代码是正确的。</think>要计算赤道上两点的球面距离，需按以下步骤进行： ### 分析步骤 1. **理解问题**：赤道为圆，半径已知。两点经度差决定圆心角，球面距离即劣弧长度（弧长=半径×圆心角弧度）。 2. **处理经度**： - 将输入经度转换为0-360度内的等效值（如370度→10度）。 - 计算经度差的绝对值，若超过180度，取360度补数（如200度差→160度）。 3. **转换为弧度**：角度差乘以π/180。 4. **计算弧长**：半径乘以弧度。 ### 代码实现 ```c #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { double lon1, lon2; scanf("%lf %lf", &lon1, &lon2); const double R = 6378.137; const double PI = 3.141592653589793; // 调整经度到0-360范围内 lon1 = fmod(lon1, 360.0); lon2 = fmod(lon2, 360.0); double delta = fabs(lon1 - lon2); if (delta > 180.0) { delta = 360.0 - delta; } double distance = R * delta * PI / 180.0; printf("%.3f\n", distance); return 0; } ``` ### 代码解释 - **输入处理**：使用`fmod`确保经度在0-360度内。 - **经度差计算**：取绝对值后，若超过180度则取其补数。 - **弧长计算**：圆心角转为弧度后，乘以半径得到距离。 - **输出**：保留三位小数。 此方法确保正确计算赤道上任意两点的最短球面距离。