帮我新创一道 考察 次小生成树的题目 仿照洛谷的出题模式 对应大概洛谷 绿题难度 还要提供一份C++的 答案代码

<think>嗯，用户让我帮忙创建一个关于次小生成树的题目，仿照洛谷的风格，难度大概是绿题。还要提供一个C++的答案代码。首先，我需要回忆下次小生成树的相关知识点，确保题目正确考察这个内容。 次小生成树的定义是，在图中所有生成树中，权值第二小的。通常求法是先找到最小生成树，然后尝试替换边，找到替换后权值最小的那个。题目需要设计一个场景，让考生应用这个算法。 接下来，考虑题目的形式。洛谷的绿题通常需要一定的算法理解和应用，可能涉及图论、动态规划等。题目应该给出输入输出格式，样例，以及数据范围。然后，我需要设计一个合理的背景，比如修路、网络连接等，让问题更贴近实际。 数据范围方面，要确保考生使用正确的算法复杂度。比如，n个节点和m条边，可能需要用Kruskal或Prim算法求最小生成树，然后枚举非树边替换。通常n的范围可能在1e5左右，但考虑到是绿题，可能数据范围可以稍微小一点，比如n到1e4，m到1e5，这样适合O(m log m)的算法。 然后，样例的设计。需要给出至少一个样例，说明最小生成树和次小生成树的情况。比如，样例1可能是一个简单的情况，让考生计算后得到正确的次小值。样例2可能需要更复杂的情况，比如有多个相同权值的边，或者替换边后权值变化的情况。 接下来是代码部分。C++的实现通常会用Kruskal算法，因为处理边比较方便。需要先求最小生成树，并记录使用的边。然后，对于每条不在最小生成树中的边，尝试替换树中的某条边，计算新的总权值，找出最小的那个。 需要注意的是，次小生成树可能和最小生成树的权值相同，这时候可能不存在严格次小，但题目通常要求严格次大，所以需要处理这种情况。或者题目可以允许非严格次小，根据题目要求而定。 然后，代码的结构大致是：输入处理，Kruskal求最小生成树，并记录父节点和边权，同时构建最小生成树的邻接表。接着预处理树上路径的最大边和次大边，这样当加入一条非树边时，可以快速找到替换的边。然后枚举所有非树边，计算替换后的总权值，取最小值作为次小生成树。 需要注意的细节包括：图的连通性，如果图本身不连通，可能需要输出-1。另外，处理边的权值可能有重复，所以需要正确比较替换后的总权值是否严格大于最小生成树的总权值。 现在，综合这些考虑，开始编写题目描述。题目名称可以是“次小生成树”，背景可以设定为城市之间修路，要求找到次小的总成本。输入包括n和m，接着m条边的信息。输出次小生成树的权值，如果不存在则输出-1。 样例输入1可能是一个简单连通图，比如4个节点，5条边，其中最小生成树权值为6，次小为8。样例2可能是一个无法形成次小的情况，比如所有边都相同，那么次小不存在，输出-1。 数据范围方面，n设为1e5，m设为2e5，这样符合Kruskal的处理能力，因为时间复杂度是O(m log m)。但需要确保代码能处理这么大的数据，使用路径压缩和按秩合并的并查集。 然后，编写C++代码。代码需要包括并查集结构，Kruskal算法找最小生成树，记录使用的边。然后，使用LCA算法预处理每个节点到祖先的路径上的最大边和次大边。这样，当加入一条非树边(u, v, w)时，可以找到u到v路径上的最大边max1和次大边max2。如果w > max1，替换后的总权值为sum - max1 + w；如果w等于max1，则用次大边max2替换，总权值sum - max2 + w。取所有这些可能中的最小值，就是次小生成树的值。 需要注意，如果所有可能的替换都无法得到比最小生成树大的总权值，则次小生成树不存在，输出-1。 最后，测试代码是否正确处理各种情况，比如存在多条相同权值的边，替换后总权值相同的情况，或者严格更大的情况。确保代码在样例输入下正确输出。</think>### 题目描述 **题目名称：次小生成树** 某国有 $n$ 个城市，政府计划修建道路使得所有城市连通。现有 $m$ 条候选道路，每条道路连接两个城市且有修建成本。你需要求出**严格次小生成树**的权值（即总成本严格大于最小生成树且最小的生成树）。若不存在严格次小生成树，则输出 `-1`。 --- ### 输入格式 第一行两个整数 $n$, $m$，表示城市数和候选道路数。 接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u$, $v$, $w$，表示一条道路连接城市 $u$ 和 $v$，修建成本为 $w$。 --- ### 输出格式 输出一个整数，表示严格次小生成树的权值。若不存在，输出 `-1`。 --- ### 样例输入 1 ``` 4 5 1 2 2 1 3 3 1 4 4 2 3 5 3 4 6 ``` ### 样例输出 1 ``` 8 ``` **解释** 最小生成树权值为 6（选择边 1-2、1-3、1-4）。次小生成树权值为 8（例如选择边 1-2、2-3、1-4）。 --- ### 样例输入 2 ``` 3 3 1 2 1 2 3 1 1 3 1 ``` ### 样例输出 2 ``` -1 ``` **解释** 所有生成树权值均为 2，不存在严格次小生成树。 --- ### 数据范围 - $1 \le n \le 10^5$ - $1 \le m \le 2 \times 10^5$ - $1 \le u, v \le n$, $u \neq v$ - $1 \le w \le 10^9$ --- ### C++ 代码 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; using LL = long long; const int MAXN = 1e5 + 5; const int MAXM = 2e5 + 5; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct Edge { int u, v, w; bool used; // 是否在最小生成树中 bool operator<(const Edge& other) const { return w < other.w; } } edges[MAXM]; struct UnionFind { vector<int> parent, rank; UnionFind(int n) : parent(n + 1), rank(n + 1, 0) { iota(parent.begin(), parent.end(), 0); } int find(int x) { return parent[x] == x ? x : parent[x] = find(parent[x]); } bool unite(int x, int y) { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return false; if (rank[x] < rank[y]) swap(x, y); parent[y] = x; if (rank[x] == rank[y]) rank[x]++; return true; } }; vector<pair<int, int>> tree[MAXN]; int dep[MAXN], up[MAXN][20], max1[MAXN][20], max2[MAXN][20]; void dfs(int u, int fa, int w) { dep[u] = dep[fa] + 1; up[u][0] = fa; max1[u][0] = w; max2[u][0] = -INF; for (int k = 1; k < 20; k++) { up[u][k] = up[up[u][k-1]][k-1]; int val1 = max1[u][k-1], val2 = max1[up[u][k-1]][k-1]; max1[u][k] = max(val1, val2); max2[u][k] = max(min(val1, val2), max(max2[u][k-1], max2[up[u][k-1]][k-1])); } for (auto [v, c] : tree[u]) { if (v != fa) dfs(v, u, c); } } pair<int, int> lca_query(int u, int v) { if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v); int max_val1 = -INF, max_val2 = -INF; for (int k = 19; k >= 0; k--) { if (dep[up[u][k]] >= dep[v]) { if (max1[u][k] > max_val1) { max_val2 = max(max_val1, max2[u][k]); max_val1 = max1[u][k]; } else if (max1[u][k] > max_val2) { max_val2 = max1[u][k]; } u = up[u][k]; } } if (u == v) return {max_val1, max_val2}; for (int k = 19; k >= 0; k--) { if (up[u][k] != up[v][k]) { for (auto val : {max1[u][k], max2[u][k], max1[v][k], max2[v][k]}) { if (val > max_val1) { max_val2 = max_val1; max_val1 = val; } else if (val > max_val2 && val != max_val1) { max_val2 = val; } } u = up[u][k]; v = up[v][k]; } } for (auto val : {max1[u][0], max2[u][0], max1[v][0], max2[v][0]}) { if (val > max_val1) { max_val2 = max_val1; max_val1 = val; } else if (val > max_val2 && val != max_val1) { max_val2 = val; } } return {max_val1, max_val2}; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 0; i < m; i++) { cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w; } sort(edges, edges + m); UnionFind uf(n); LL mst_sum = 0; for (int i = 0; i < m; i++) { int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w; if (uf.unite(u, v)) { mst_sum += w; edges[i].used = true; tree[u].emplace_back(v, w); tree[v].emplace_back(u, w); } } // 检查是否连通 int root = uf.find(1); for (int i = 2; i <= n; i++) { if (uf.find(i) != root) { cout << "-1\n"; return 0; } } dfs(1, 0, 0); LL ans = 1e18; for (int i = 0; i < m; i++) { if (edges[i].used) continue; int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w; auto [max1, max2] = lca_query(u, v); if (w > max1) { ans = min(ans, mst_sum - max1 + w); } else if (w == max1 && max2 != -INF) { ans = min(ans, mst_sum - max2 + w); } } cout << (ans > mst_sum && ans != 1e18 ? ans : -1) << "\n"; return 0; } ``` --- ### 代码解释 1. **Kruskal 算法**：首先通过并查集构建最小生成树，记录总权值 `mst_sum` 和已使用的边。 2. **LCA 预处理**：通过 DFS 和倍增法预处理每个节点向上跳 $2^k$ 步的路径中的最大边和次大边。 3. **枚举非树边**：对于每条不在最小生成树中的边，计算其替换树上路径中某条边后的权值差，更新可能的次小生成树权值。 4. **严格次小判断**：最终答案必须严格大于最小生成树权值，否则输出 `-1`。