最长上升子序列nlogn
时间: 2024-05-16 17:18:50 AIGC 浏览: 173
最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence)问题是一个经典的动态规划问题。在给定一个序列的情况下,需要找到其中一个最长的上升子序列(子序列可以不连续)的长度。
一种高效的解决方案是使用动态规划算法,其时间复杂度为O(nlogn)。下面是该算法的详细步骤:
1. 创建一个长度为n的数组dp,用于存储以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
2. 初始化dp数组中所有元素为1,因为每个单独的元素都可以视为一个长度为1的上升子序列。
3. 从左到右遍历数组,对于每个元素nums[i],执行以下操作:
- 在0到i-1的范围内,找出所有比nums[i]小的元素nums[j]。
- 对于每个找到的nums[j],更新dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
- 这一步的目的是找到以nums[i]结尾的最长上升子序列的长度,并将其存储在dp[i]中。
4. 遍历dp数组,找到其中最大的值,即为所求的最长上升子序列的长度。
这种算法使用了二分查找来加速寻找比当前元素小的元素过程,从而将时间复杂度降低到了O(nlogn)。
希望以上解答能够满足你的需求。如果还有其他问题,请随时提问!
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5.最长上升子序列nlogn
最长上升子序列问题是指在一个给定的数列中,找到一个最长的子序列使得这个子序列中的元素是严格递增的。最长上升子序列问题可以通过动态规划来解决,但是其时间复杂度为 O(n^2)。为了降低时间复杂度,可以使用一种叫做“Patience Sorting”的方法,其时间复杂度为 O(nlogn)。
Patience Sorting方法的基本思想是,将原始序列中的每个元素尽可能地放到堆栈中(规则:新元素插入最左边的堆栈,如果无法插入则新建一个堆栈),这样得到的堆栈数量即为最长上升子序列的长度。由于每个元素只会被放入一个堆栈中,因此堆栈数量不会超过n,所以时间复杂度为O(nlogn)。
最长下降子序列nlogn
### 最长下降子序列 O(nlogn) 算法实现与解释
#### 一、算法原理
最长下降子序列(LDS, Longest Decreasing Subsequence),类似于最长上升子序列,可以通过动态规划加二分查找的方法,在O(n log n)的时间复杂度下解决。核心在于维护一个列表`d`,其中存储着可能成为最终LDS一部分的最小结尾元素。每当遇到一个新的数时,如果它小于`d`中的最后一个元素,则更新`d`;否则通过二分查找找到其应在位置并替换之。
#### 二、具体步骤说明
- 初始化一个空的结果数组 `f` 和变量 `len` 表示当前已知的最大长度。
- 遍历输入序列中的每一个数字:
- 使用C++标准库函数`lower_bound()`寻找第一个大于等于该数字的位置。
- 如果此位置位于现有记录之外,则扩展结果集;反之则用新数值替代旧值以保持潜在解空间最优性。
上述过程确保了每次迭代都能维持住“尽可能短”的递减路径特性,从而使得最后得到的答案既满足条件又具有最大长度[^1]。
#### 三、代码实例
下面是采用 C++ 编写的完整程序:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin >> n;
vector<int> nums(n+1), f(n+1);
for(int i = 1; i <= n; ++i){
cin >> nums[i];
}
int len = 0;
f[++len] = nums[1];
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
// 寻找nums[i]应该放置的位置
auto pos = upper_bound(f + 1, f + len + 1, nums[i], greater<int>()) - f;
if (pos == len + 1) {
f[++len] = nums[i];
} else {
f[pos] = nums[i];
}
}
cout << "Length of LDS is: " << len << "\n\n";
}
```
这段代码实现了对给定整数序列求解其最长严格递减子序列的功能,并输出对应的长度。注意这里使用了`upper_bound`配合自定义比较器`greater<int>()`来适应于寻找降序排列下的插入点[^4]。
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