p3371 【模板】单源最短路径（弱化版）

这道题是单源最短路径问题的标准版，需要使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决。 Dijkstra算法是一种贪心算法，通过维护一个距离起点最近的未访问节点的集合，不断更新节点的距离和路径，直到所有节点都被访问。时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数。 Bellman-Ford算法则是一种动态规划算法，通过不断松弛边来更新节点的距离和路径，直到所有节点的距离都不再变化。时间复杂度为O(VE)，其中E为边数，V为节点数。 两种算法各有优缺点，Dijkstra算法适用于稠密图，而Bellman-Ford算法适用于稀疏图和存在负权边的情况。 在实现时，可以使用优先队列来优化Dijkstra算法的时间复杂度，也可以使用SPFA算法来优化Bellman-Ford算法的时间复杂度。

<think>好的，我现在需要帮助用户用Java实现单源最短路径问题的分支限界算法，涉及邻接矩阵、最短路径长度数组和前驱数组。首先，我得回顾一下用户之前的交互。用户之前询问过Linux组管理的问题，现在转向算法实现，特别是分支限界法用于单源最短路径。这可能是因为用户在学习算法，尤其是图的相关算法，或者在准备面试或项目需要。 用户提供的引用内容提到了SPFA算法、分支限界法的装载问题示例，以及一个Graph类的模板。这可能暗示用户希望结合分支限界法和队列优化，类似于SPFA，但需要明确的是分支限界法通常用于解决组合优化问题，而最短路径问题常用的是Dijkstra或Bellman-Ford算法。不过用户特别提到分支限界，可能需要将优先队列与剪枝策略结合使用，类似Dijkstra的优先队列优化，但需要符合分支限界的框架。 首先，我需要确认分支限界法在最短路径中的应用。分支限界法通常通过状态空间树进行搜索，使用优先队列选择扩展节点，并通过上下界剪枝。对于最短路径，每个节点可能代表路径的一部分，优先队列按当前路径长度排序，每次扩展最短的路径，直到到达目标节点。这其实类似于Dijkstra算法，但可能用户希望用分支限界的术语来实现，比如显式管理优先队列和剪枝。 接下来，用户需要邻接矩阵c[n][n]、dist[n]、pre[n]。邻接矩阵表示图的连接关系和权重，dist数组存储从源点到各顶点的最短距离，pre数组记录前驱节点以便重建路径。 需要考虑Java的具体实现。邻接矩阵可以用二维数组，dist和pre用一维数组。优先队列可以使用PriorityQueue，但需要自定义比较器来按距离排序节点。每个节点需要记录顶点和当前距离。此外，剪枝策略是关键，当发现到达某个顶点的路径比已知的更短时，才更新dist数组并将该节点加入队列。 可能的步骤： 1. 初始化dist数组为无穷大，源点距离为0，pre数组为-1。 2. 使用优先队列（最小堆）来管理待处理的顶点，按距离排序。 3. 每次取出距离最小的顶点，遍历其邻接顶点，进行松弛操作。 4. 如果找到更短的路径，更新dist和pre，并将邻接顶点加入队列。 5. 重复直到队列为空。 需要注意的问题：如何处理负权边？如果存在负权，可能需要使用其他算法如Bellman-Ford，但用户明确要求分支限界，可能假设没有负权。或者，用户可能希望处理负权，但需要判断是否有负环，但分支限界法可能不适用，需要说明。 此外，代码结构方面，可能需要一个Node类来保存顶点和当前距离，实现Comparable接口以便优先队列排序。邻接矩阵的输入需要考虑如何处理无穷大（比如用Integer.MAX_VALUE），以及顶点编号是否从0开始。 测试部分，用户可能需要示例输入和输出，比如一个具体的邻接矩阵示例，运行后的dist和pre数组结果，以及路径重建的过程。 用户可能潜在的问题包括：如何优化队列处理，避免重复添加顶点；如何处理大图的性能问题；或者如何验证算法的正确性。因此，在回答中需要详细注释代码，解释关键步骤，并提供测试案例。 最后，确保引用用户提供的引用内容，但用户提到这些引用仅供参考，可能需要结合之前的Linux问题和回答。不过当前问题转向算法实现，可能需要专注于当前需求，适当忽略之前的引用，除非有直接关联。例如，引用中的分支限界示例可能帮助理解队列的使用，但需要调整到最短路径的上下文。 总结，我需要提供Java代码实现分支限界法解决单源最短路径，使用邻接矩阵、dist和pre数组，并解释关键步骤和测试方法，同时回答相关问题如优化、应用场景等。</think>### Java实现单源最短路径的分支限界算法 以下基于 **分支限界法** 实现单源最短路径算法，使用邻接矩阵存储图结构，并通过优先队列优化搜索过程。实现包含 **路径松弛**、**剪枝策略** 和 **前驱数组追踪路径** 的核心功能。 --- #### 一、算法设计思路 1. **数据结构** - `int[][] c`: 邻接矩阵，`c[i][j]` 表示边 $i \to j$ 的权重 - `int[] dist`: `dist[i]` 表示源点到顶点 $i$ 的最短路径长度 - `int[] pre`: `pre[i]` 记录顶点 $i$ 在最短路径上的前驱顶点 2. **分支限界法核心** - 使用 **优先队列（最小堆）** 按路径长度排序待扩展节点 - 每次选择当前路径最短的节点进行扩展 - 通过 **松弛操作** 更新邻接顶点的最短路径，并剪除非最优分支[^1] --- #### 二、完整代码实现 ```java import java.util.*; class Node implements Comparable<Node> { int vertex; int distance; public Node(int vertex, int distance) { this.vertex = vertex; this.distance = distance; } @Override public int compareTo(Node other) { return Integer.compare(this.distance, other.distance); } } public class ShortestPathBB { private int n; // 顶点数 private int[][] c; // 邻接矩阵 private int[] dist; // 最短路径数组 private int[] pre; // 前驱数组 public ShortestPathBB(int[][] adjacencyMatrix) { this.n = adjacencyMatrix.length; this.c = adjacencyMatrix; this.dist = new int[n]; this.pre = new int[n]; } public void shortestPaths(int source) { Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE); Arrays.fill(pre, -1); dist[source] = 0; PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>(); pq.add(new Node(source, 0)); while (!pq.isEmpty()) { Node current = pq.poll(); int u = current.vertex; // 剪枝：若当前路径已非最优，跳过扩展 if (current.distance > dist[u]) continue; // 遍历所有邻接顶点 for (int v = 0; v < n; v++) { if (c[u][v] != 0) { // 存在边u->v int newDist = dist[u] + c[u][v]; // 松弛操作 if (newDist < dist[v]) { dist[v] = newDist; pre[v] = u; pq.add(new Node(v, newDist)); } } } } } // 输出路径 public void printPath(int target) { if (dist[target] == Integer.MAX_VALUE) { System.out.println("无路径到达顶点 " + target); return; } Stack<Integer> path = new Stack<>(); for (int at = target; at != -1; at = pre[at]) { path.push(at); } System.out.print("路径: "); while (!path.isEmpty()) { System.out.print(path.pop() + " "); } System.out.println("\n总长度: " + dist[target]); } // 测试用例 public static void main(String[] args) { int[][] graph = { {0, 4, 0, 0, 0, 0}, {4, 0, 8, 0, 0, 0}, {0, 8, 0, 7, 0, 4}, {0, 0, 7, 0, 9, 14}, {0, 0, 0, 9, 0, 10}, {0, 0, 4, 14, 10, 0} }; ShortestPathBB sp = new ShortestPathBB(graph); sp.shortestPaths(0); sp.printPath(5); } } ``` --- #### 三、关键代码解析 1. **节点类 `Node`** - 封装顶点编号和当前路径长度 - 实现 `Comparable` 接口，按距离排序优先队列 2. **松弛操作** ```java if (newDist < dist[v]) { dist[v] = newDist; pre[v] = u; pq.add(new Node(v, newDist)); } ``` - 发现更短路径时更新 `dist` 和 `pre` - 将新路径加入队列继续扩展 3. **剪枝策略** ```java if (current.distance > dist[u]) continue; ``` - 若队列中节点的路径长度已非最优，直接跳过避免冗余计算 --- #### 四、测试输出示例 对于以下邻接矩阵（顶点0为源点）： ``` 顶点0 -> 1 (权重4) 顶点1 -> 2 (权重8) 顶点2 -> 3 (7), 5 (4) 顶点3 -> 4 (9), 5 (14) 顶点5 -> 4 (10) ``` 输出结果： ``` 路径: 0 1 2 5 总长度: 16 ``` --- ### 相关问题 1. **如何处理负权边？** 分支限界法无法直接处理负权边，需改用SPFA或Bellman-Ford算法[^1]。 2. **如何优化队列的重复插入问题？** 使用 `dist` 数组记录当前最短路径，插入队列前检查是否为更优解。 3. **算法的时间复杂度是多少？** 最坏情况 $O((V+E)\log V)$，与Dijkstra算法相同，优先队列优化减少了无效扩展。