信号与系统规范：稳定性、可控性和可观测性解析

# 信号与系统规范：稳定性、可控性和可观测性解析 ## 1. 引言 在信号与系统的研究中，有一个重要的问题：当系统由有界输入信号驱动时，在何种条件下系统的状态（以及输出）能保持有界？这个问题与自治系统从任意初始状态恢复到平衡点的能力密切相关，也就是系统的稳定性问题。接下来，我们将详细探讨系统稳定性、可控性和可观测性的相关概念。 ## 2. 系统稳定性 ### 2.1 稳定性定义 稳定性是自治系统在受到干扰后恢复到平衡点的能力。对于由方程描述的系统，如果对于每个初始条件 \(x(t_0)\)，当 \(u = 0\) 时，满足 \(\lim_{t \to \infty} x(t) = 0\)，则该系统是稳定的。自治系统的状态向量解为 \(x(t) = e^{A(t - t_0)}x(t_0)\)，其中矩阵 \(A\) 称为状态矩阵。系统稳定的充要条件是矩阵 \(A\) 的所有特征值都在开左半平面 \(\mathbb{C}^-\) 内。 ### 2.2 特征多项式与 Hurwitz 矩阵 矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{n_x \times n_x}\) 的特征值是特征多项式 \(\det(\lambda I - A) = \lambda^{n_x} + a_{n_x - 1}\lambda^{n_x - 1} + \cdots + a_1s + a_0\) 的 \(n_x\) 个根。如果特征多项式的所有根都在开左半平面，则矩阵 \(A\) 被称为 Hurwitz 矩阵。\(n\times n\) Hurwitz 矩阵的集合定义为 \(\mathcal{H} = \{H \in \mathbb{R}^{n \times n} : \lambda_i(H) \in \mathbb{C}^-, i = 1, \cdots, n\}\)，其中 \(\lambda_i(H)\) 表示 \(H\) 的第 \(i\) 个特征值。因此，自治系统 \(\dot{x}(t) = Ax(t)\) 稳定的充要条件是 \(A\) 是 Hurwitz 矩阵，即 \(A \in \mathcal{H}\)。需要注意的是，Hurwitz 矩阵的集合不是凸集。 ### 2.3 Hurwitz 矩阵集合的非凸性 给定两个 Hurwitz 矩阵 \(A_1, A_2 \in \mathcal{H}\)，它们的凸组合 \(A(\alpha) = \alpha A_1 + (1 - \alpha)A_2\)，\(\alpha \in [0, 1]\)，并不一定属于 \(\mathcal{H}\)。例如，考虑矩阵： \(A_1 = \begin{bmatrix}a & 2b \\ 0 & b\end{bmatrix}\)，\(A_2 = \begin{bmatrix}a & 0 \\ 2a & b\end{bmatrix}\)，其中 \(a, b < 0\)。它们的凸组合为 \(A(\alpha) = \begin{bmatrix}a & 2\alpha b \\ 2(1 - \alpha)a & b\end{bmatrix}\)。可以很容易地看出 \(A_1, A_2 \in \mathcal{H}\)，但 \(A(\frac{1}{2}) \notin \mathcal{H}\)。 ### 2.4 Lyapunov 方法 另一种确定给定线性时不变（LTI）自治系统 \(\dot{x}(t) = Ax(t)\) 稳定性的方法是 Lyapunov 方法。考虑一个与当前状态向量 \(x(t)\) 到状态空间原点距离相关的量，例如其平方二次范数 \(V(x(t)) = \|x\|_P^2 = x(t)^T Px(t)\)，其中 \(P\) 是对称正定矩阵。 系统稳定的充要条件是存在矩阵 \(P = P^T > 0\)，使得 \(V(x(t)) = x^T Px\) 是时间的严格递减函数，即 \(\dot{V}(x(t)) < 0\) 对于所有 \(x \neq 0\) 成立。\(V\) 的时间导数为： \(\dot{V}(x(t)) = \dot{x}(t)^T Px(t) + x(t)^T P\dot{x}(t) = x(t)^T A^T Px(t) + x(t)^T PAx(t) = x(t)^T (A^T P + PA)x(t)\) 二次型 \(x(t)^T (A^T P + PA)x(t)\) 对于所有 \(x \neq 0\) 是负定的，当且仅当对称矩阵 \(A^T P + PA\) 是负定的，即其所有特征值都是负的，记为 \(A^T P + PA \prec 0\)。这个表达式被称为关于 \(P\) 的 Lyapunov 不等式，也是一个线性矩阵不等式（LMI）。 ### 2.5 Lyapunov 方程 可以通过取任意矩阵 \(Q = Q^T > 0\)，并求解以下线性方程（也称为 Lyapunov 方程）来解决这个 LMI： \(A^T P + PA = -Q\) 如果自治系统是稳定的，那么 Lyapunov 方程的解矩阵 \(P\) 一定是正定的。 ### 2.6 系统稳定性条件总结 LTI 系统稳定的充要条件有两个等价表述： - 状态矩阵 \(A\) 的所有特征值都在开左半平面 \(\mathbb{C}^-\) 内，即 \(A\) 是 Hurwitz 矩阵。 - 存在正定对称矩阵 \(P\) 满足 Lyapunov 不等式 \(A^T P + PA \prec 0\)。 ### 2.7 内部稳定性与 BIBO 稳定性 上述稳定性结果通常称为内部稳定性，需要与所谓的有界输入有界输出（BIBO）稳定性区分开来。如果有界输入产生有界输出