机器学习与工程设计中的建模与优化
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发布时间: 2025-09-01 00:32:12 阅读量: 1 订阅数: 9 AIGC 
### 机器学习与工程设计中的建模与优化
#### 1. 机器学习中的偏好模型构建
在机器学习领域，构建偏好模型是一个重要的研究方向。下面以一组不同类型的汽车为例，详细介绍构建偏好模型的主要步骤。
##### 1.1 产品空间与定性分析
产品空间由十种同类型（汽车）但在功率、最大速度等方面存在差异的产品组成，具体如下表所示：
| 产品编号 | 产品名称 |
| ---- | ---- |
| P1 | 雪铁龙C2 |
| P2 | 斯玛特Fortwo |
| P3 | 宝马745i |
| P4 | 梅赛德斯S级400 CDI |
| P5 | 宾利欧陆GT |
| P6 | 法拉利恩佐 |
| P7 | 雷诺风景 |
| P8 | 大众途安 |
| P9 | 路虎发现 |
| P10 | 捷豹S型 |
同时，保留了与汽车特征相关的五个定性属性，分别为“家庭”、“运动”、“豪华”、“美观”和“旅行车”。这些定性属性由106名参与者在10分制（“0”表示“完全不同意”，“10”表示“完全同意”）上进行评估，各车型的定性特征如下表：
| 产品 | A1（家庭） | A2（运动） | A3（豪华） | A4（美观） | A5（旅行车） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P1 | 2.74 | 1.88 | 1.77 | 3.42 | 4.42 |
| P2 | 0.61 | 1.48 | 1.89 | 3.04 | 2.51 |
| P3 | 5.11 | 6.25 | 6.75 | 6.18 | 7.13 |
| P4 | 5.50 | 6.09 | 7.68 | 7.18 | 7.60 |
| P5 | 3.97 | 7.75 | 8.85 | 8.45 | 7.52 |
| P6 | 0.67 | 9.76 | 9.51 | 9.05 | 5.88 |
| P7 | 9.24 | 1.96 | 2.55 | 3.06 | 6.92 |
| P8 | 9.17 | 2.83 | 3.88 | 4.86 | 7.38 |
| P9 | 7.41 | 4.58 | 5.67 | 5.58 | 6.68 |
| P10 | 4.58 | 6.66 | 8.11 | 6.88 | 7.23 |
##### 1.2 偏好值计算
假设目标群体为大家庭的父亲，可确定定性属性的顺序为：家庭 > 旅行车 > 美观 > 豪华 > 运动，即A1 > A5 > A4 > A3 > A2。
通过最大熵原理求解优化问题，得到各属性的权重分别为：w1 = 0.4219，w2 = 0.0502，w3 = 0.0959，w4 = 0.1645，w5 = 0.2675。
每个产品的偏好值通过对评估属性的凸组合计算得出，公式为：
\[p_i = \sum_{j=1}^{5} w_j A_j, i = 1, \cdots, 10\]
各产品的偏好值如下表：
| 产品 | 偏好值 |
| ---- | ---- |
| P1 | 3.16 |
| P2 | 1.68 |
| P3 | 6.04 |
| P4 | 6.58 |
| P5 | 6.32 |
| P6 | 4.75 |
| P7 | 6.60 |
| P8 | 7.16 |
| P9 | 6.60 |
| P10 | 6.12 |
##### 1.3 物理变量
物理变量对应于每个汽车模型的机械特性，本研究考虑了汽车的六个主要机械特性，分别为气缸容量（cm³）、功率（cv）、最大速度（Km/h）、重量（Kg）、宽度（mm）和长度（mm）。各产品的机械特性及归一化后的特性如下表：
| 产品 | x1（气缸容量） | x2（功率） | x3（最大速度） | x4（重量） | x5（宽度） | x6（长度） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P1 | 1124 | 61 | 158 | 932 | 1659 | 3666 |
| P2 | 698 | 52 | 135 | 730 | 1515 | 2500 |
| P3 | 4398 | 333 | 250 | 1870 | 1902 | 5029 |
| P4 | 3966 | 260 | 250 | 1915 | 2092 | 5038 |
| P5 | 5998 | 560 | 318 | 2385 | 1918 | 4804 |
| P6 | 5998 | 660 | 350 | 1365 | 2650 | 4700 |
| P7 | 1870 | 120 | 188 | 1430 | 1805 | 4259 |
| P8 | 1896 | 105 | 180 | 1498 | 1794 | 4391 |
| P9 | 2495 | 138 | 157 | 2175 | 2190 | 4705 |
| P10 | 2720 | 207 | 230 | 1722 | 1818 | 4905 |
| 产品 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P1 | -0.84 | -0.97 | -0.79 | -0.76 | -0.75 | -0.08 |
| P2 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 |
| P3 | 0.40 | -0.08 | 0.07 | 0.38 | -0.32 | 0.99 |
| P4 | 0.23 | -0.32 | 0.07 | 0.43 | 0.02 | 1.00 |
| P5 | 1.00 | 0.67 | 0.70 | 1.00 | -0.29 | 0.82 |
| P6 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | -0.23 | 1.00 | 0.73 |
| P7 | -0.56 | -0.78 | -0.51 | -0.15 | -0.49 | 0.39 |
| P8 | -0.55 | -0.83 | -0.58 | -0.07 | -0.51 | 0.49 |
| P9 | -0.32 | -0.72 | -0.80 | 0.75 | 0.19 | 0.74 |
| P10 | -0.24 | -0.49 | -0.12 | 0.20 | -0.47 | 0.90 |
##### 1.4 学习数据库和测试数据库
根据特定方法生成了三个新的输入 - 输出数据对，扩展后的数据库由13个输入 - 输出数据对组成。随机选取扩展数据库的70%和30%，分别得到学习数据库和测试数据库，如下表所示：
学习数据库：
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | p（偏好） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -0.55 | -0.83 | -0.58 | -0.07 | -0.51 | 0.49 | 7.16 |
| 0.13 | -0.29 | 0.01 | 0.34 | -0.26 | 0.96 | 6.24 |
| 0.23 | -0.32 | 0.07 | 0.43 | 0.02 | 1.00 | 6.58 |
| -0.56 | -0.78 | -0.51 | -0.15 | -0.49 | 0.39 | 6.60 |
| -0.65 | -0.86 | -0.62 | -0.33 | -0.58 | 0.27 | 5.64 |
| 1.00 | 0.67 | 0.70 | 1.00 | -0.29 | 0.82 | 6.32 |
| 0.40 | -0.08 | 0.07 | 0.38 | -0.32 | 0.99 | 6.04 |
| 0.74 | 0.45 | 0.59 | 0.40 | 0.24 | 0.85 | 5.88 |
| -0.84 | -0.97 | -0.79 | -0.76 | -0.75 | -0.08 | 3.16 |
测试数据库：
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | p（偏好） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | -1.00 | 1.68 |
| 1.00 | 1.00 | 1.00 | -0.23 | 1.00 | 0.73 | 4.75 |
| -0.32 | -0.72 | -0.80 | 0.75 | 0.19 | 0.74 | 6.60 |
| -0.24 | -0.49 | -0.12 | 0.20 | -0.47 | 0.90 | 6.11 |
##### 1.5 数学偏好模型
偏好值通过以下形式的径向基函数（RBF）模型表示为机械特性的函数：
\[\hat{p}(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{2} a_i \
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