总分的封闭形式与洛德-温格斯基算法相关研究

# 总分的封闭形式与洛德 - 温格斯基算法相关研究 ## 1 评分方案 假设一个测试包含 $J$ 个项目，项目 $j$ 的类别数量为 $K_j$。项目的类别可分为名义、有序或部分有序。项目 $j$ 的类别 $k$（$k = 1, 2, \cdots, K_j$）的权重（分数）表示为 $w_{jk}$，它可以是任何有理数（$w_{jk} \in Q$），即： \[w_{jk} = \frac{a}{b} \quad (a \in Z \text{ 且 } b \in N \text{ 使得 } GCD(a, b) = 1)\] 这里 $w_{jk}$ 被定义为最简分数，若 $w_{jk} < 0$，负号归属于分子 $a$。当 $b = 1$ 时，$w_{jk}$ 为整数。 设 $w_j = [w_{j1} \ w_{j2} \ \cdots \ w_{jK_j}]^T$ 是一个 $K_j \times 1$ 的向量，它收集了项目 $j$ 的 $K_j$ 个类别的所有权重，代表了该项目的评分（加权）方案。以下是一些评分方案的示例： - **示例 A**：$w_j = [0 \ 1 \ 2 \ 3 \ 4]^T$，这是一个典型的五序类别李克特式项目的评分方案。 - **示例 B**：$w_j = [0.0 \ 0.8 \ 1.6 \ 2.4 \ 3.2]^T$，五序类别李克特式项目的等间距权重评分方案，增量为 0.8。 - **示例 C**：$w_j = [0 \ 0 \ 0 \ 2]^T$，这是一个有四个名义类别的多项选择题，类别 4 是正确答案，选择该类别的受访者得 2 分。 - **示例 D**：$w_j = [0.5 \ 1 \ 0 \ 2]^T$，同样类别 4 是正确答案，但选择选项 1 或 2 的受访者分别获得 0.5 分和 1 分的部分分数。 - **示例 E**：$w_j = [0 \ -1 \ 0 \ 0.25 \ 2 \ 0]^T$，在这个六选项项目中，类别 5 是正确答案，类别 4 获得 0.25 分的部分分数，选择类别 2 则扣 1 分。 一般来说，每个项目的类别数量和评分方案在测试中并不统一，可能会混合不同类型的项目，如名义项目（如多项选择题）和有序类别项目（如李克特式项目）。 ## 2 不公平骰子的概率空间 首先考虑项目 $j$ 的概率空间 $(\Omega_j, F_j, P_j)$。对于项目 $j$，具有特质 $\theta$ 的受访者从 $\{1, \cdots, K_j\}$ 中排他性地选择一个类别。项目 $j$ 的样本空间 $\Omega_j$ 表示为： \[\Omega_j = \{1, \cdots, K_j\}\] 相应地，事件空间可以自动确定为 $F_j = 2^{\Omega_j}$，它是 $\Omega_j$ 的所有子集的集合。使用项目反应理论（IRT）模型，项目 $j$ 的离散随机变量 $C_j$ 在样本空间 $(\Omega_j, F_j)$ 上被观察为 $k \in F_j$ 的概率测度可以建模为： \[P_j(C_j = k|\theta) \to p_{jk}(\theta)\] 其中 $p_{jk}(\theta)$ 简记为 $p_{\theta jk}$，表示具有特质 $\theta$ 的受访者选择项目 $j$ 中类别 $k$ 的概率，在 IRT 中称为类别反应函数（CRF）。该研究允许在单个测试中使用几种不同的多分类 IRT 模型，但它们应在相同的 $\theta$ 尺度上进行校准（等值）。上述方程可重写为： \[C_j|\theta \sim Cat(p_{\theta j})\] 为了便于阅读，$C_j|\theta$ 记为 $C_{\theta j}$，$Cat(p)$ 表示具有概率向量 $p$ 的分类分布。并且 $p_{\theta j} = [p_{\theta j1} \ \cdots \ p_{\theta jK_j}]^T$，满足 $\sum_{k = 1}^{K_j} p_{\theta jk} = 1$。 相关离散分布的关系如图 1 所示： ```mermaid graph LR classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; A(Poisson Binomial):::process --> B(Binomial):::process B --> C(Bernoulli):::process D(Categorical):::process --> C D --> E(Discrete Uniform):::process E --> F((Fair Hexahedral Die)):::process G(Nonsimilar, Unfair, Hexahedral Dice):::process --> D H(Similar, Fair, Hexahedral Dice):::process --> F I(Nonsimilar and Unfair Dice with Equal Number of Faces):::process --> D J(Nonsimilar and Unfair Dice with Distinct Number of Faces):::process --> D K(Similar, Fair, M - faced Dice):::process --> E L(Two Faces):::process --> C M(Six Faces):::process --> F N(One die (One Roll)):::process --> C N --> D N --> F ``` 图 1：相关离散分布的关系 分类分布（左下角）有时被称为多项伯努利分布，因为它是伯努利分布（右下角）向可取值为三分类或更多值的扩展。当每个类别被观察到的概率相等（$p = \frac{1}{M}$）时，分类分布等同于离散均匀分布，当类别数量为 6 时，进一步等同于普通的正六面体骰子。因此，$Cat(p_{\theta j})$ 是一个不公平的 $K_j$ 面骰子。 由于类别 $k$ 被赋予权重 $w_{jk}$，具有特质 $\theta$ 的受访者在项目 $j$ 上的得分 $U_{\theta j} = U_j|\theta$ 表示为： \[U_{\theta j} = w_jC_{\theta j}\] 相应地，离散随机变量 $U_{\theta j}$ 的特征函数（CF）表示为： \[\varphi_{U_{\theta j}}(t) = E[e^{itU_{\theta j}}] = \sum_{k = 1}^{K_j} p_{\theta jk} e^{itw_{jk}} \quad (i = \sqrt{-1})\] 离散分布的 CF 是其概率质量函数（PMF）分布的逆离散傅里叶变换（逆 DFT），它包含了分布的所有矩信息以及矩生成函数（MGF）。 $U_{\theta j}$ 关于原点的 $m$ 阶矩从 CF 推导如下： \[E[U_{\theta j}^m] = i^{-m} \left. \frac{d^m}{dt^m} \varphi_{U_{\theta j}}(t) \right|_{t = 0} = \sum_{k = 1}^{K_j} w_{jk}^m p_{\theta jk}\] 因此，$U_{\theta j}$ 的均值和方差分别为： \[E[U_{\theta j}] = i^{-1} \left. \frac{d}{dt} \varphi_{U_{\theta j}}(t) \right|_{t = 0} = \sum_{