【进阶篇】复杂矩阵操作：MATLAB中的Schur分解和Jordan形式

 # 2.1 Schur分解的基本概念和性质 Schur分解是一种矩阵分解技术，它将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。 **基本概念：** 给定一个复矩阵 A，其Schur分解形式为： ``` A = Q * T * Q^H ``` 其中： * Q 是一个酉矩阵，即 Q^H * Q = I * T 是一个上三角矩阵，其对角线元素是 A 的特征值 **性质：** * Schur分解是唯一的，即对于给定的 A，存在唯一的 Q 和 T 满足上述分解式。 * T 的对角线元素是 A 的特征值，并且特征值按其代数重数排列。 * Q 的列向量是 A 的特征向量，即 A * Q = Q * T。 # 2. Schur分解的理论与算法 ### 2.1 Schur分解的基本概念和性质 **Schur分解**是一种矩阵分解技术，它将一个方阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。对于一个实对称矩阵，其Schur分解形式为： ``` A = Q * T * Q^T ``` 其中： * **A** 是待分解的实对称矩阵 * **Q** 是一个酉矩阵，即其转置等于其逆 * **T** 是一个上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值 Schur分解具有以下性质： * **正交性：** Q是酉矩阵，因此 Q^T * Q = I，其中I是单位矩阵。这表明Q的列向量是正交的。 * **对角化：** T是对角矩阵，因此其对角线元素是A的特征值。 * **唯一性：**对于给定的A，其Schur分解是唯一的，除了酉矩阵Q的列向量顺序可以不同。 ### 2.2 Schur分解的算法实现 #### 2.2.1 QR算法 QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的Schur分解。该算法通过一系列QR分解将A分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。 **算法步骤：** 1. 将A初始化为A0。 2. 对k = 1, 2, ..., n-1，执行以下步骤： * 对A_k进行QR分解，得到A_k = Q_k * R_k。 * 更新A_k+1 = R_k * Q_k。 3. 令T = A_n，Q = Q_1 * Q_2 * ... * Q_n。 **代码块：** ```python def schur_qr(A): """ 使用QR算法计算矩阵A的Schur分解。 参数： A：待分解的实对称矩阵 返回： T：上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值 Q：酉矩阵，其列向量是A的特征向量 """ n = A.shape[0] Q = np.eye(n) for k in range(n-1): A, Q = qr(A) Q = Q @ Q_k T = A return T, Q ``` **逻辑分析：** 该代码块实现了QR算法。它首先将A初始化为A0，然后通过一系列QR分解迭代更新A。在每次迭代中，它将A分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积，并更新A和Q。最后，它返回上三角矩阵T和酉矩阵Q。 #### 2.2.2 分治法 分治法是一种递归算法，用于计算矩阵的Schur分解。该算法将A分解为较小的块，并递归地计算这些块的Schur分解。 **算法步骤：** 1. 如果A是一个2x2矩阵，则直接计算其特征值和特征向量。 2. 否则，将A分解为以下形式： ``` A = [A11 A12] [A21 A22] ``` 其中A11和A22是子矩阵。 3. 递归地计算A11和A22的Schur分解。 4. 将A11和A22的Schur分解组合起来，得到A的Schur分解。 **代码块：** ```python def schur_divide(A): """ 使用分治法计算矩阵A的Schur分解。 参数： A：待分解的实对称矩阵 返回： T：上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值 Q：酉矩阵，其列向量是A的特征向量 """ n = A.shape[0] if n == 2: return schur_2x2(A) else: # 分解A A11 = A[:n//2, :n//2] A12 = A[:n//2, n//2:] A21 = A[n//2:, :n//2] A22 = A[n//2:, n//2:] # 递归计算子矩阵的Schur分解 T11, Q1 = schur_divide(A11) T22, Q2 = schur_divide(A22) # 组合子矩阵的Schur分解 T = np.block([[T11, A12 @ Q2], [Q1.T @ A21, T22]]) Q = np.block([[Q1, np.zeros((n//2, n//2))], [np.zeros((n//2, n//2 ```