揭秘双曲正弦函数的微积分奥秘：掌握导数和积分的精髓

 # 1. 双曲正弦函数的简介和基本性质 双曲正弦函数（sinh）是双曲函数家族中的一员，与三角函数中的正弦函数类似，但具有不同的定义域和值域。sinh 函数定义为： ``` sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2 ``` 其中 x 是实数。sinh 函数的图像是一个奇函数，呈抛物线形状，在原点处过零点，且在正负无穷大处单调递增。 sinh 函数的基本性质包括： - 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x) - 导数：sinh'(x) = cosh(x) - 积分：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C # 2. 双曲正弦函数的导数 ### 2.1 导数的定义和基本规则 导数是微积分中的基本概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。对于函数 $f(x)$, 其导数定义为： $$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 导数的几何意义是函数在该点处的切线斜率。 导数的基本规则如下： * 常数函数的导数为 0。 * 幂函数的导数为 $f(x) = x^n$，则 $f'(x) = nx^{n-1}$。 * 求和规则：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，则 $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$。 * 乘积规则：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，则 $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。 * 商规则：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，且 $g(x) \neq 0$，则 $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$。 ### 2.2 双曲正弦函数的导数公式 双曲正弦函数的导数公式为： $$(\sinh x)' = \cosh x$$ 其中 $\sinh x$ 是双曲正弦函数，$\cosh x$ 是双曲余弦函数。 **证明：** 根据导数的定义，我们有： $$(\sinh x)' = \lim_{h\to 0} \frac{\sinh(x+h) - \sinh x}{h}$$ $$= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{e^{x+h} - e^{-(x+h)}}{2} - \frac{e^x - e^{-x}}{2}}{h}$$ $$= \li