揭示双曲正弦函数的积分表示：揭开函数积分关系的秘密

 # 1. 双曲正弦函数的定义和性质** **1.1 定义** 双曲正弦函数（sinh）是双曲函数之一，定义为： ``` sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 ``` 其中，x 是实数。 **1.2 性质** * 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x) * 导数：d/dx sinh(x) = cosh(x) * 积分：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C * 与三角函数的关系：sinh(ix) = i sin(x) # 2. 双曲正弦函数积分的理论基础 ### 2.1 双曲函数的微分和积分关系 **定义：** 双曲函数是正弦和余弦函数的类似物，定义为： ``` sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2 ``` **微分关系：** ``` d/dx sinh(x) = cosh(x) d/dx cosh(x) = sinh(x) ``` **积分关系：** ``` ∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C ∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C ``` ### 2.2 积分换元法在双曲正弦函数积分中的应用 **积分换元法：** 积分换元法是一种积分技巧，通过将积分变量替换为一个新的变量，使得积分更容易求解。 **在双曲正弦函数积分中的应用：** 对于积分 `∫ sinh(ax) dx`，令 `u = ax`，则 `du = a dx`。代入积分式，得到： ``` ∫ sinh(ax) dx = ∫ sinh(u) (1/a) du = (1/a) cosh(u) + C = (1/a) cosh(ax) + C ``` **代码块：** ```python import sympy def sinh_integral(a, x): """计算 sinh(ax) 的积分。 Args: a: 常数 x: 积分变量 Returns: 积分结果 """ u = sympy.Symbol("u") integral = sympy.Integral(sympy.sinh(a * x), x) result = integral.subs(x, u / a) / a return result.subs(u, a * x) print(sinh_integral(2, 3)) ``` **逻辑分析：** * 令 `u = ax`，则 `du = a dx`。 * 将 `u` 代入积分式，得到 `∫ sinh(ax) dx = ∫ sinh(u) (1/a) du`。 * 求出积分结果，得到 `(1/a) cosh(u) + C`。 * 将 `u` 替换回 `ax`，得到 `(1/a) cosh(ax) + C`。 **参数说明：** * `a`: 常数 * `x`: 积分变量 **代码块：** ```python import sympy def cosh_integral(a, x): """计算 cosh(ax) 的积分。 Args: a: 常数 x: 积分变量 Returns: 积分结果 """ u = sympy.Symbol("u") integral = sympy.Integral(sympy.cosh(a * x), x) result = integral.subs(x, u / a) / a return result.subs(u, a * x) print(cosh_integral(2, 3)) ``` **逻辑分析：** * 令 `u = ax`，则 `du = a dx`。 * 将 `u` 代入积分式，得到