合取查询的泛化以获取信息性答案

### 合取查询的泛化以获取信息性答案 在知识查询的过程中，并非所有查询都能在给定的知识库中得到正确答案。当一个查询没有正确答案时，我们称该查询失败。接下来，我们将探讨如何通过查询泛化的方法，将失败的查询转化为能得到信息性答案的泛化查询。 #### 1. 基本概念 - **失败查询**：设 $\Sigma$ 为知识库，$Q(X)$ 为查询。若 $ans(Q(X), \Sigma) = \varnothing$，则查询 $Q(X)$ 在 $\Sigma$ 中失败。 - **演绎泛化**：设 $\Sigma$ 为知识库，$\varphi(X)$ 是带有自由变量元组 $X$ 的公式，$\psi(X, Y)$ 是带有与 $X$ 不相交的额外自由变量元组 $Y$ 的公式。若在 $\Sigma$ 中，较不通用的 $\varphi$ 蕴含较通用的 $\psi$，即 $\Sigma \models \forall X\exists Y (\varphi(X) \to \psi(X, Y))$，则 $\psi(X, Y)$ 是 $\varphi(X)$ 的演绎泛化。 例如，在经典一阶逻辑中，对于公式 $\varphi_1 = Ill(Mary, Cough)$，公式 $Ill(y, Cough)$ 是其演绎泛化，因为在任何一阶模型中都有 $\exists y(Ill(Mary, Cough) \to Ill(y, Cough))$。 - **带信息性答案的泛化查询**：查询公式 $Q_{gen}(X, Y)$ 是查询 $Q(X)$ （相对于知识库 $\Sigma$）的带信息性答案的泛化查询，需满足以下条件： 1. 失败查询：$ans(Q(X), \Sigma) = \varnothing$ 2. 泛化查询：$Q_{gen}(X, Y)$ 是 $Q(X)$ 的演绎泛化 3. 信息性答案：$ans(Q_{gen}(X, Y), \Sigma) \neq \varnothing$ #### 2. 泛化算子 为了实现查询泛化，我们分析了三种泛化算子： - **删除条件（Dropping Condition，DC）**： - **操作步骤**： 1. 输入长度为 $n$ 的查询 $Q(X) = L_1 \land \cdots \land L_n$。 2. 从 $L_1, \cdots, L_n$ 中选择文字 $L_j$。 3. 返回长度为 $n - 1$ 的子查询 $L_1 \land \cdots \land L_{j - 1} \land L_{j + 1} \land \cdots \land L_n$。 - **示例**：对于查询 $P(x) \land Q(x) \land R(x)$，删除条件 $R(x)$ 后得到子查询 $P(x) \land Q(x)$。 - **性质**：DC 是演绎泛化算子，因为合取查询必然蕴含其所有子查询，即当 $Q(X)$ 是长度为 $n$ 的合取查询，$Q_{gen}(X)$ 是长度为 $n - 1$ 的子查询时，$\models \forall X (Q(X) \to Q_{gen}(X))$。 - **反实例化（Anti - instantiation，AI）**： - **操作步骤**： 1. 输入长度为 $n$ 的查询 $Q(X) = L_1 \land \cdots \land L_n$。 2. 从 $Q(X)$ 中选择项 $t$，$t$ 可以是在 $Q(X)$ 中至少出现两次的变量或常量。 3. 选择包含 $t$ 的文字 $L_j$。 4. 用新变量替换 $L_j$ 中 $t$ 的一次出现，得到 $L_j'$。 5. 返回泛化查询 $L_1 \land \cdots \land L_{j - 1} \land L_j' \land L_{j + 1} \land \cdots \land L_n$。 - **特殊情况**： - 将常量转换为变量：如 $P(a)$ 转换为 $P(x)$。 - 打破连接：如 $P(x) \land S(x)$ 转换为 $P(x) \land S(y)$。 - 原子内变量重命名：如 $P(x, x)$ 转换为 $P(x, y)$。 - **性质**：AI 是演绎泛化算子，因为包含项 $t$ 的文字必然蕴含用新变量替换 $t$ 后的文字，即 $\models \forall X\exists y (L_j \to L_j')$，对于整个查询也有 $\models \forall X\exists y (Q(X) \to Q_{gen}(X, Y))$。 - **目标替换（Goal Replacement，GR）**： - **操作步骤**： 1. 输入长度为 $n$ 的查询 $Q(X) = L_1 \land \cdots \land L_n$。 2. 从 $\Sigma$ 中选择单头范围受限规则 $L_{i1} \land \cdots \land L_{im} \to L'$，使得存在替换 $\theta$ ，使得所有文字 $L_{i1}\theta, \cdots, L_{im}\theta$ 都出现在 $Q(X)$ 中。 3. 设 $L_{im + 1}, \cdots, L_{in}$ 为 $Q(X)$ 中除 $L_{i1}\theta, \cdots, L_{im}\theta$ 之外的文字。 4. 返回包含替换文字的泛化查询 $L_{im + 1} \land \cdots \land L_{in} \land L'\theta$。 - **示例**：给定规则 $P(x, y) \to Q(y)$ 和替换 $\theta = \{a/x, y/y\}$，查询 $P(a, y) \land P(b, y)$ 可转换为 $Q(y) \land P(b, y)$。 - **性质**：GR 是演绎泛化算子，因为 $\{ \forall X (L_{i1} \land \cdots \land L_{im}) \to L' \} \models \forall X (Q(X) \to L'\theta)$。 #### 3. 泛化算子的组合 为了避免不必要的重复查询生成，我们研究了三种泛化算子 DC、AI 和 GR 两两组合的性质： - **AI 后接 DC**：设查询 $Q(X)$，$S_1 = AI(DC(Q(X)))$，$S_1' = DC(Q(X))$，$S_2 = DC(AI(Q(X)))$，则 $S_2 \subseteq S_1 \cup S_1'$（变量重命名意义下）。这意味着先进行反实例化再删除条件得到的查询，可以通过单独删除条件或交换操作顺序得到，因此只需在 DC 后应用 AI。 - **GR 后接 DC**：设查询 $Q(X)$，$S_1 = GR(DC(Q(X)))$，$S_2 = DC(GR(Q(X)))$，则 $S_1 \subseteq S_2$。这表明先删除条件再进行目标替换得到的查询，可以通过先进行目标替换再删除条件得到，因此可以避免在 DC 后应用 GR。 - **GR 后接 AI**：设查询 $Q(X)$，$S_1 = AI(GR(Q(X)))$，$S_1' = GR(Q(X))$，$S_2 = GR(AI(Q(X)))$，则 $S_2 \subseteq S_1 \cup S_1'$（变量重命名意义下）。即先进行反实例化再进行目标替换得到的查询，可以通过先进行目标替换再进行反实例化得到，因此只需对 GR 得到的查询应用 AI。 基于以上性质，我们得到以下定理： - **定理 1（算子排序）**：组合泛化算子 DC、AI 和 GR 时，可以避免以下计算：GR 后接 DC、DC 后接 AI 和 GR 后接 AI。 通过合理安排算子的应用顺序，搜索泛化查询的效率可以得到显著提高。例如，当 GR 适用时，先应用 GR，接着进行 DC 步骤，最后进行 AI 步骤。 以下是一个查询 $Q(X) = Ill(x, Flu) \land Ill(x, Cough)$ 的泛化集合示例： | 泛化集合 | 内容 | | ---- | ---- | | $G_1$ | $DC(Q(X)) = \{Ill(x, Cough), Ill(x, Flu)\}$ <br> $\cup AI(Q(X))$ <br> $\cup \{Ill(y, Flu) \land Ill(x, Cough), Ill(x, y) \land Ill(x, Cough), Ill(x, Flu) \land Ill(x, y)\}$ <br> $\cup GR(Q(X))$ <br> $\cup \{Treat(x, Medi) \land Ill(x, Cough)\}$ | | $G_2$ | $DC(DC(Q(X))) = \{\varepsilon\}$ <br> $\cup AI(DC(Q(X)))$ <br> $\cup \{Ill(x, y)\}$ <br> $\cup AI(AI(Q(X)))$ <br> $\cup \{Ill(y, y') \land Ill(x, Cough), Ill(y, Flu) \land Ill(x, y'), Ill(x, y) \land Ill(x, y')\}$ <br> $\cup DC(GR(Q(X)))$ <br> $\cup \{Treat(x, Medi)\}$ <br> $\cup AI(GR(Q(X)))$ <br> $\cup \{Treat(y, Medi) \land Ill(x, Cough), Treat(x, y) \land Ill(x, Cough), Treat(x, Medi) \land Ill(x, y)\}$ | | $G_3$ | $GR(GR(Q(X))) = \varnothing$ <br> $AI(AI(AI(Q(X)))) = \{Ill(y, y') \land Ill(x, y'')\}$ <br> $\cup AI(DC(GR(Q(X))))$ <br> $\cup \{Treat(x, y)\}$ <br> $\cup AI(AI(GR(Q(X))))$ <br> $\cup \{Treat(y, y') \land Ill(x, Cough), Treat(y, Medi) \land Ill(x, y'), Treat(x, y) \land Ill(x, y')\}$ | | $G_4$ | $DC(DC(DC(Q(X)))) = AI(DC(DC(Q(X)))) = AI(AI(DC(Q(X)))) = DC(DC(GR(Q(X)))) = \varnothing$ <br> $AI(AI(AI(GR(Q(X))))) = \{Treat(y, y') \land Ill(x, y'')\}$ <br> $AI(AI(AI(AI(Q(X))))) = AI(AI(DC(GR(Q(X))))) = \varnothing$ | 以下是算子应用的流程图： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px A([查询 Q(X)]):::startend --> B(GR):::process B --> C(DC):::process C --> D(AI):::process D --> E([泛化查询 Qgen]):::startend ``` 通过以上方法，我们可以将失败的查询转化为能得到信息性答案的泛化查询，提高查询的成功率和效率。 #### 4. 算子组合流程分析 为了更清晰地理解如何运用这些泛化算子来生成泛化查询，下面详细分析其组合流程。 我们以一个具体的查询 $Q(X)$ 为例，按照定理 1 给出的算子排序规则，依次应用 GR、DC 和 AI 算子。 - **第一步：应用 GR 算子** - 检查知识库 $\Sigma$ 中是否存在单头范围受限规则，使得规则的体可以通过替换 $\theta$ 映射到查询 $Q(X)$ 的子查询。 - 如果存在这样的规则，将规则的头替换查询中对应的子查询，得到新的查询。 - 如果不存在，则直接进入下一步。 - **第二步：应用 DC 算子** - 对于上一步得到的查询（如果上一步未进行 GR 操作，则为原始查询 $Q(X)$），依次删除其中的一个合取项，生成长度减 1 的子查询。 - **第三步：应用 AI 算子** - 对上一步得到的查询进行反实例化操作，引入新的变量，进一步泛化查询。 以下是这个流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px A([开始：查询 Q(X)]):::startend --> B{是否可应用 GR?}:::decision B -- 是 --> C(应用 GR 算子):::process B -- 否 --> D(跳过 GR):::process C --> E(应用 DC 算子):::process D --> E E --> F(应用 AI 算子):::process F --> G([结束：泛化查询 Qgen]):::startend ``` #### 5. 效率与优化 在实际应用中，搜索泛化查询的效率至关重要。虽然定理 1 给出的算子排序规则可以避免一些不必要的计算，但具体的效率还取决于 GR 和 AI 算子的适用性。 - **GR 算子的影响**：当 GR 算子适用时，优先应用它可以快速改变查询的结构，引入新的常量和谓词符号，可能直接得到信息性答案。但需要注意的是，检查知识库中是否存在匹配的规则可能会带来一定的计算开销。 - **DC 算子的作用**：DC 算子相对简单，通过删除合取项来泛化查询。在应用 GR 之后使用 DC 算子，可以进一步缩小查询的范围，提高查询的针对性。 - **AI 算子的补充**：AI 算子引入新的变量，增加了查询的灵活性。在最后应用 AI 算子，可以在不改变查询基本结构的前提下，进一步扩大查询的覆盖范围。 为了提高搜索效率，可以设置一个用户定义的泛化步骤上限，进行深度优先或广度优先的穷举搜索。这样可以避免搜索过程陷入无限循环，同时保证得到的泛化查询与原始查询的距离在可接受的范围内。 #### 6. 总结 通过查询泛化的方法，我们可以将失败的查询转化为能得到信息性答案的泛化查询。具体来说，我们定义了三种泛化算子：删除条件（DC）、反实例化（AI）和目标替换（GR），并分析了它们的性质和操作步骤。 通过研究这些算子的组合性质，我们得到了算子排序定理，避免了一些不必要的计算，提高了搜索泛化查询的效率。在实际应用中，根据 GR 和 AI 算子的适用性，合理安排算子的应用顺序，可以更有效地得到与原始查询接近的泛化查询。 以下是三种泛化算子的对比表格： | 算子名称 | 操作方式 | 引入新变量 | 依赖知识库 | 示例 | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 删除条件（DC） | 删除查询中的一个合取项 | 否 | 否 | $P(x) \land Q(x) \land R(x) \to P(x) \land Q(x)$ | | 反实例化（AI） | 用新变量替换查询中的常量或变量 | 是 | 否 | $P(a) \to P(x)$ | | 目标替换（GR） | 用规则的头替换查询中的子查询 | 否 | 是 | $P(a, y) \land P(b, y) \to Q(y) \land P(b, y)$ | 通过合理运用这些算子和组合规则，我们可以在知识查询中获得更好的效果，提高查询的成功率和信息获取的效率。