服务器问题的变体研究与算法分析

# 服务器问题的变体研究与算法分析 ## 1. CNN 问题与 k - 服务器变体的挑战 在寻找 CNN 问题的竞争比时，我们发现一些在 2 - 服务器问题中具有竞争力的简单算法，在服务器移动成本不同的情况下却不再具有竞争力。 ### 1.1 简单算法介绍 - **双覆盖（dc）算法**：在直线上，如果请求位于两个服务器之间，将两个服务器都向请求点移动，直到请求被处理；否则，移动较近的服务器（若距离相等则任意选择）。 - **平衡（bal）算法**：为了响应任何查询，移动那个移动到请求点后累积成本最小的服务器。更通用的平衡算法基于两个参数来决定移动哪个服务器到请求点：服务器的累积成本和到请求点的距离。 ### 1.2 算法局限性 对于直线上速度分别为 1 和 m 的两个服务器，没有 dc 或 bal 类型的算法具有恒定的竞争比（与 m 无关）。例如在 dc 算法中，对于快速服务器在请求位于其与慢速服务器凸包之外时，需要能够“超越”慢速服务器，否则竞争比至少为 m。 我们通过一个简单例子说明，考虑在线配置为 (0, x)，快速服务器在 0 点，x 足够大使得慢速服务器能在快速服务器之前到达 x + 1 处的请求（即 (x + 1)/m > 1）。通过重复请求序列 0, x, 0, x + 1，在线服务器每处理 4 个请求需花费成本 2，而对手只需花费成本 2/m（假设 m ≥ 1）。随着 m 增大，竞争比会变得任意大，bal 算法也有类似情况。 ### 1.3 CNN 问题特殊情况 考虑请求位于 y = 0 和 y = 1 两条直线上的 CNN 问题特殊情况。我们采用类似的策略，假设服务器到目前为止最左和最右的位置为 [l, r]。如果服务器在 y = 0 上，在 (l - 1, 1) 处放置请求；如果服务器在 y = 1 上，在 (0, r + 1) 处放置请求。这样可以使服务器远离中心，对手可以让服务器在原点和较短的“探索臂”之间交替。 ## 2. L∞ 范数下的 k - 服务器问题 在这部分，我们考虑服务器速度相同但可同时移动，且要最小化服务时间的 k - 服务器问题。 ### 2.1 竞争比分析 忽略算法（和最优算法）可同时移动多个服务器的事实，该问题的竞争比是常规 k - 服务器问题的 k 倍。使用已知的最佳界限，可得到该竞争比为 2k² - k，但我们期望能改进这个结果。例如，在均匀度量空间中，按顺序移动服务器可达到最优竞争比 k。 ### 2.2 dc - tree 算法 在树结构中，我们采用从 dc 算法推广而来的 dc - tree 算法。该算法定义为：将每个有未被其他服务器阻挡的路径到达请求点的服务器，以恒定速度向请求点移动。需要注意的是，服务器可能开始移动，之后由于其他服务器移动到其路径上而停止移动。 ### 2.3 定理证明 定理表明，对于树结构中在 L∞ 范数下的 k 个服务器，dc - tree 算法的竞争比为 1/2k(k + 1)。证明过程中，设 Mmin 为在线和离线服务器之间最佳匹配的距离，Σdc - tree 为所有在线服务器对之间的距离。通过考虑固定数量服务器移动的阶段，并使用潜在函数 Φ = (k + 1)Mmin² + 1/2Σdc - tree 进行分析。对于成本为 d 的移动，离线服务器可使 Mmin 增加 kd，从而得到竞争比为 1/2k(k + 1)。 为了说明这个比例是紧的，考虑在线和离线服务器位于直线上位置 (