紧致李群G₂的约化齐性空间研究

### 紧致李群 G₂ 的约化齐性空间研究 #### 1. 子流形 N 的性质 子流形 N 是 M′ₛ 的全测地子流形，并且与 SU(3)/SO(3) 微分同胚。从代数角度来看，5 维向量子空间 \(n = \langle D_{p,pl} : p \in H_0 \rangle \leq D_{H,Hl} = \text{der}(\mathcal{O})_{\overline{1}}\) 关于三重积 \([x, y, z] = [[x, y], z]\) 是封闭的，这为 N 的性质提供了独立的代数证明。此外，\(\{ f \in G_2 : f (l) = l \} \sim SU(3)\)（同构于 H₆）在 N 上可递作用，而 \(H_l \in N\) 的迷向子群 \(H_7 = \{ f \in G_2 : f (H) \subset H, f (l) = l \} \sim SO(3)\)。N 还是一个对称空间，相关的五维几何在过往研究中受到了不少关注。 对于 \(G_2/SO(3)\) 的切空间，已有基于线性代数的代数模型。目前，有研究正在利用这个模型来寻找 Min 中的合适度量。 #### 2. 复结构的扭子空间 \(M_r \sim G_2/U(2)_r\) 对称空间 \(M_s\) 是一个 8 维的四元数 - 凯勒流形。在 \(M_s\) 上，存在一个子丛 \(Q \subset \text{End}(T M_s)\)，它由三个反交换的自同态场 \(J_1, J_2, J_3 = J_1J_2\) 局部生成，且 \(J_i^2 = - \text{id}\)，这些自同态是斜对称的，并且 Levi - Civita 联络保持 Q。扭子空间 \(Z = \{ 0 \neq A \in Q : A^2 = - \text{id} \}\) 是一个以二维球面 \(S^2\) 为标准纤维的纤维丛，它具有自然的复结构和正标量曲率的凯勒 - 爱因斯坦度量。 我们考虑 \(N_4 = \{ (W, J) : W \in M'_s, J \text{ 是 } W \text{ 上的度量复结构} \}\)，其中 \(G_2\) 通过 \(f \cdot (W, J) = ( f (W), f J f^{-1})\) 作用在 \(N_4\) 上。推导 \(d_{l_i}\) 限制在 \(H^{\perp}\) 上是一个复结构 \(d_{l_i}|_{H^{\perp}}\)，且 \((H_l, d_{l_i}) \in N_4\)。固定这个元素的 \(G_2\) 的子群 \(H_{(H_l,d_{l_i})}\) 与 \(H_4 = \{ f \in \text{Aut}(\mathcal{O}) : f \tau = \tau f \}\) 重合，其中 \(\tau\) 是之前定义的自同构。 为了研究 \(G_2\) 在 \(N_4\) 上的作用是否可递，有如下引理： - **引理 4**：对于任意 \((W, J) \in N_4\)， - 对于 \(W\) 中范数为 1 的 \(X\) 和 \(W \cap \langle X, J(X) \rangle^{\perp}\) 中范数为 1 的 \(Y\)，有 \(W = \langle X, Y, J(X), J(Y) \rangle\)，\(W^{\perp} = \langle X \times Y, X \times J(X), Y \times J(X) \rangle\)。 - 存在 \(\alpha \in \{ \pm 1 \}\) 使得 \((X \times Y) \times J(X) = \alpha J(Y)\)。当 \(\alpha = 1\) 时，将 \((i, l, jl)\) 映射到凯莱三元组 \((X \times J(X), X, Y)\) 的 \(\mathcal{O}\) 的自同构 \(f\) 满足 \(f \cdot (H_l, d_{l_i}) = (W, J)\)。 然而，\((H_l, d_{r_i}) \in N_4\) 不保持 \(W \times W \subset W^{\perp}\)，这表明 \(G_2\) 在 \(N_4\) 上的作用不可递。因此，我们考虑 \(M_r = \{ (W, J) : W \in M'_s, J \in \text{SO}(W, n), J^2 = - \text{id}, J(X) \times J(Y) = X \times Y \ \forall X, Y \in W \}\)。由于 \(G_2\) 保持叉积，\(G_2\) 在 \(M_r\) 上的作用是可递的。考虑到 \((H_l, d_{l_i})\) 处的迷向群 \(H_4 \sim U(H, \sigma) \sim U(2)\)，可得 \(M_r \sim G_2/U(2)_r\)，并且 \(M_r\) 可以与四元数 - 凯勒流形 \(G_2/SO(4)\) 的扭子空间 \(Z\) 等同。 为了不依赖外部对象来定义 \(M_r\) 中的复结构，对于任意 \(W \in M'_s\)，定义三元积 \(\{X, Y, Z\} := (X \times Y) \times Z\)，并考虑 \(\text{Aut}(W, n, \{ \cdot, \cdot, \cdot \}) = \{ J \in \text{SO}(W, n) : \{ J(X), J(Y), - \} = \{ X, Y, - \} \ \forall X, Y \in W \}\)，则 \(M_r = \{ (W, J) : W \in M'_s, J \in \text{Aut}(W, n, \{ \cdot, \cdot, \cdot \}), J^2 = - \text{id} \}\)。 #### 3. 四元数结构的扭子空间 \(P_r \sim