高斯过程：从基础到定制化应用

### 高斯过程：从基础到定制化应用 #### 1. 高斯过程基础回顾 高斯过程是一种强大的概率模型，它将多元高斯分布扩展到无限维度，成为函数上的分布。即使没有训练数据，高斯过程也能根据先验产生预测。训练后，其均值预测能平滑地插值训练数据点。 高斯过程的一个显著优势是能够对不确定性进行校准量化。在观测数据点附近的预测更有信心，而远离训练数据的预测则更不确定。使用多元高斯分布或高斯过程进行条件设定，就像在观测点打一个结，迫使模型精确通过观测点，并将该区域的不确定性降为零。 当使用 GPyTorch 实现高斯过程时，可编写一个模块化的模型类，具体实现两个方法： - `__init__()`：为给定输入构建多元高斯分布。 - `forward()`：声明高斯过程的均值和协方差函数。 #### 2. 实际数据集上的高斯过程训练 以一个材料发现任务的实际数据集为例，每个数据点代表一种由铅（Pb）、锡（Sn）、锗（Ge）和锰（Mn）按不同比例混合而成的合金。前四列是这些母体化合物的百分比，最后一列是混合温度，即合金能够形成的最低温度。任务是根据合金的成分百分比预测混合温度。 具体步骤如下： 1. 创建包含在表中的四维数据集。 2. 对第五列进行归一化处理，即从所有值中减去均值，然后除以标准差。 3. 将前四列作为特征，第五列作为标签，在这些数据上训练高斯过程。可以复用之前实现的 GP 模型类。 4. 创建一个测试数据集，其中锗和锰的百分比为零。也就是说，测试集是一个单位正方形上的网格，其坐标轴是铅和锡的百分比。测试集应类似于以下 PyTorch 张量： ```python tensor([[0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000], [0.0000, 0.0100, 0.0000, 0.0000], [0.0000, 0.0200, 0.0000, 0.0000], ..., [1.0000, 0.9800, 0.0000, 0.0000], [1.0000, 0.9900, 0.0000, 0.0000], [1.0000, 1.0000, 0.0000, 0.0000]]) ``` 5. 在测试集上预测混合温度，即计算测试集中每个点的归一化混合温度的后验均值和标准差。 6. 可视化预测结果，以与图中相同的方式将均值和标准差显示为热图。 数据集示例如下： | % of Pb | % of Sn | % of Ge | % of Mn | Mixing temp. | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 0.50 | 0.50 | 0.00 | 0.00 | 192.08 | | 0.33 | 0.33 | 0.33 | 0.00 | 258.30 | | 0.00 | 0.50 | 0.50 | 0.00 | 187.24 | | 0.00 | 0.33 | 0.33 | 0.33 | 188.54 | #### 3. 先验知识在贝叶斯模型中的重要性 先验知识在贝叶斯模型中起着至关重要的作用。以一个有趣的场景为例，假设你和朋友 Bob、Alice 在嘉年华上遇到一个自称是灵媒的人。测试方法是你和朋友各自想一个 0 到 9 之间的数字，灵媒来猜出这个数字，可重复测试多次。 经过