量子环境下超越生日界MAC的攻击分析

### 量子环境下超越生日界MAC的攻击分析 #### 1. PMAC Plus类MAC的计算过程 对于具有三个块消息 $M = (M[1], M[2], M[3])$ 的PMAC Plus类MAC，其 $MAC_{k1,k_{else}}(M)$ 的计算过程如下： 1. 给定消息 $M$，计算 $Y = P_{k1}(M)$； 2. 计算线性组合过程： - $\Sigma(Y ) := a_1Y [1]\oplus a_2Y [2]\oplus a_3Y [3]$ - $\Theta(Y ) := b_1Y [1] \oplus b_2Y [2] \oplus b_3Y [3]$ 其中 $(a_1, a_2, a_3) \in(\{0, 1\}^n)^3$，$B = (b_1, b_2, b_3) \in(\{0, 1\}^n)^3$； 3. 计算 $F_{k_{else}}(\Sigma(Y ), \Theta(Y ))$ 并输出。 下面用mermaid流程图展示这个过程： ```mermaid graph LR A[给定消息M] --> B[计算Y = Pk1(M)] B --> C[计算Σ(Y)和Θ(Y)] C --> D[计算Fkelse(Σ(Y), Θ(Y))] D --> E[输出结果] ``` #### 2. PMAC Plus类MAC的部分密钥恢复攻击 大多数BBB MAC有多个密钥，我们考虑部分密钥恢复攻击，发现知道密钥 $k_1$ 就足以进行伪造。$k_1$ 的恢复步骤如下： 1. 固定点 $v$ 和 $w$ 的任意值； 2. 反转步骤2中的线性组合过程，得到两个任意不同的解 $C_0, C_1 \in\{0, 1\}^{3n}$； 3. 猜测 $k_1$ 并反转步骤1，得到两条消息； 4. 将这两条消息输入到 $MAC_{k1,k_{else}}(\cdot)$ 的预言机中，得到两个标签。如果猜测正确，那么这两个标签在点 $v$ 和 $w$ 处会相同；否则，这两个标签大概率不同。也就是说，我们通过判断两个标签是否相等来检查猜测是否正确。 可以通过应用Grover搜索来加速 $k_1$ 的搜索。定义集合 $C$ 和函数 $f$ 如下： - 集合 $C := \{(C_0, C_1) | \Sigma(C_0) = \Sigma(C_1), \Theta(C_0) = \Theta(C_1)\}$，其中 $C_j = (C_j[1], C_j[2], C_j[3]) \in(\{0, 1\}^n)^3$，$j = 0, 1$ 且 $C_0 \neq C_11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111