金融模型中的资产定价与债券分析

# 金融模型中的资产定价与债券分析 ## 1. 含缺失数据的资本资产定价模型（CAPM） ### 1.1 CAPM 模型概述 资本资产定价模型（CAPM）是用于描述资产与市场价格联动关系的工具。在一系列假设下，CAPM 认为资产回报与市场回报呈线性关系，具体公式为： \[E[R(i)] = C + b(i) * (E[M] - C)\] 其中，\(E[R(i)]\) 是资产 \(i\) 的预期回报，\(C\) 是无风险资产回报，\(E[M]\) 是市场回报，\(b(i)\) 是资产 \(i\) 的贝塔系数，反映了该资产与市场的联动程度。贝塔系数的计算公式为： \[b(i) = \frac{cov(R(i),M)}{var(M)}\] 若 \(b(i)=1\)，资产与市场同步波动；若 \(b(i)>1\)，资产比市场更具波动性；若 \(b(i)<1\)，资产比市场波动性小。 ### 1.2 CAPM 模型的估计 CAPM 模型的标准估计形式是一个线性模型，公式为： \[R(k,i) = a(i) + C(k) + b(i) * (M(k) - C(k)) + V(k,i)\] 其中，\(R(k,i)\) 是第 \(k\) 个样本中资产 \(i\) 的回报，\(a(i)\) 是资产 \(i\) 的非系统性回报（即阿尔法系数），\(b(i)\) 是资产 \(i\) 的贝塔系数，\(V(k,i)\) 是残差误差。 严格形式的 CAPM 要求阿尔法系数为零，非零的阿尔法系数可能是暂时的市场失衡所致。在实际投资管理中，很多人致力于寻找具有可利用非零阿尔法系数的资产。 残差误差 \(V(i)\) 满足以下条件： \[E[V(i)] = 0\] \[E[V(i) * V(j)] = S(i,j)\] 其中，\(S(i,j)\) 是残差或非系统性方差/协方差。资产的残差标准差 \(\sqrt{S(i,i)}\) 表示该资产的非系统性风险。 ### 1.3 含缺失数据的估计 对于有足够资产回报历史的公司，可以估计其贝塔系数，但对于近期首次公开募股（IPO）的公司则非常困难。如果存在一组与新公司股价变动有一定相关性的可观测公司（如同行业公司），则可以使用金融工具箱中的缺失数据回归程序来估算新公司的贝塔系数。 ### 1.4 部分科技股贝塔系数的单独估计 为了说明如何使用缺失数据回归程序，我们将估算十二只科技股的贝塔系数，其中一只股票（GOOG）是 IPO。具体步骤如下： 1. 从 MAT 文件 `CAPMuniverse` 中加载十二只股票的日期、总回报和股票代码： ```matlab load CAPMuniverse whos Assets Data Dates Dates = datetime(Dates,'ConvertFrom','datenum'); ``` 资产符号如下： | 序号 | 资产符号 | | ---- | ---- | | 1 - 7 | {'AAPL', 'AMZN', 'CSCO', 'DELL', 'EBAY', 'GOOG', 'HPQ'} | | 8 - 14 | {'IBM', 'INTC', 'MSFT', 'ORCL', 'YHOO', 'MARKET', 'CASH'} | 数据涵盖了 2000 年 1 月 1 日至 2005 年 11 月 7 日的每日总回报，其中两只股票存在缺失值（用 NaN 表示），一只股票在该期间进行了 IPO，数据量明显少于其他股票。 2. 为每只股票进行单独回归： ```matlab [NumSamples, NumSeries] = size(Data); NumAssets = NumSeries - 2; StartDate = Dates(1); EndDate = Dates(end); Alpha = NaN(1, length(NumAssets)); Beta = NaN(1, length(NumAssets)); Sigma = NaN(1, length(NumAssets)); StdAlpha = NaN(1, length(NumAssets)); StdBeta = NaN(1, length(NumAssets)); StdSigma = NaN(1, length(NumAssets)); for i = 1:NumAssets % Set up separate asset data and design matrices TestData = zeros(NumSamples,1); TestDesign = zeros(NumSamples,2); TestData(:) = Data(:,i) - Data(:,14); TestDesign(:,1) = 1.0; TestDesign(:,2) = Data(:,13) - Data(:,14); % Estimate the CAPM for each asset separately. [Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign); % Estimate the ideal standard errors for covariance parameters. [StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'fisher'); % Estimate the sample standard errors for model parameters. StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'hessian'); % Set up results for the output. Alpha(i) = Param(1); Beta(i) = Param(2); Sigma(i) = sqrt(Covar); StdAlpha(i) = StdParam(1); StdBeta(i) = StdParam(2); StdSigma(i) = sqrt(StdCovar); end ``` 3. 显示单独回归的结果： ```matlab displaySummary('Separate', StartDate, EndDate, NumAssets, Assets, Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma); ``` 结果如下： | 股票 | Alpha | Beta | Sigma | | ---- | ---- | ---- | ---- | | AAPL | 0.0012 ( 1.3882) | 1.2294 ( 17.1839) | 0.0322 ( 0.0062) | | AMZN | 0.0006 ( 0.5326) | 1.3661 ( 13.6579) | 0.0449 ( 0.0086) | | CSCO | -0.0002 ( 0.2878) | 1.5653 ( 23.6085) | 0.0298 ( 0.0057) | | DELL | -0.0000 ( 0.0368) | 1.2594 ( 22.2164) | 0.0255 ( 0.0049) | | EBAY | 0.0014 ( 1.4326) | 1.3441 ( 16.0732) | 0.0376 ( 0.0072) | | GOOG | 0.0046 ( 3.2107) | 0.3742 ( 1.7328) | 0.0252 ( 0.0071) | | HPQ | 0.0001 ( 0.1747) | 1.3745 ( 24.2390) | 0.0255 ( 0.0049) | | IBM | -0.0000 ( 0.0312) | 1.0807 ( 28.7576) | 0.0169 ( 0.0032) | | INTC | 0.0001 ( 0.1608) |