量子密钥搜索与有限阿贝尔群隐藏移位问题融合算法解析
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发布时间: 2025-08-31 01:10:28 阅读量: 10 订阅数: 21 AIGC 
### 量子密钥搜索与有限阿贝尔群隐藏移位问题融合算法解析
#### 1. 三元LWE量子密钥搜索
在加密和解密领域，三元LWE（Learning With Errors）的量子密钥搜索是一个重要的研究方向。通过对比qRep - 1和cRep - 1的改进情况，我们可以清晰地看到不同算法在不同参数下的性能表现。
| (n, q, w) | cRep - 1 | [α]i | Rep - 1 + Grover | [α]i |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| (509, 2048, 254) | 267 = 193 + 74 | [34, 15, 4] | 188 = 155 + 33 | [22, 11, 3] |
| (677, 2048, 254) | 313 = 235 + 78 | [28, 12, 3] | 223 = 191 + 32 | [16, 8, 2] |
| (821, 4096, 510) | 449 = 336 + 113 | [44, 20, 4] | 320 = 268 + 52 | [32, 16, 4] |
| (701, 8192, 468) | 387 = 295 + 92 | [41, 20, 8] | 278 = 235 + 43 | [29, 15, 4] |
| NTRU - Prime (653, 4621, 288) | 309 = 236 + 73 | [28, 12, 2] | 225 = 190 + 35 | [24, 12, 3] |
| (761, 4591, 286) | 344 = 265 + 79 | [32, 14, 3] | 245 = 206 + 39 | [30, 15, 4] |
| (857, 5167, 322) | 383 = 294 + 89 | [37, 15, 2] | 274 = 236 + 38 | [23, 10, 2] |
| BLISS I + II (512, 12289, 154) | 206 = 168 + 38 | [15, 4] | 149 = 133 + 16 | [9, 3] |
| GLP I (512, 8383489, 342) | 250 = 210 + 40 | [36, 15, 5] | 193 = 175 + 18 | [20, 11, 3] |
从表格数据可以看出，对于加密方案，我们实现了约100比特的大幅节省；对于签名方案，节省超过50比特。虽然我们的结果与基于量子格的攻击所提供的比特复杂度相比仍有差距（约为2倍），但QMeet - LWE可能作为一个有用的量子构建块，用于加速更先进的算法。
#### 2. 时间 - 内存权衡
当我们拥有固定（但在n上仍然是指数级）数量的量子比特，且这个数量小于最优运行时间所需的数量时，我们仍然可以实例化并运行量子行走，但使用较小的U(i)。这将对运行时间产生以下影响：
- 设置阶段的复杂度会变小。
- 顶点包含解的概率ε会降低。
由于最优运行时间已经平衡了成本，降低内存必然会导致运行时间增加。例如，对于NTRU - Enc参数集(509, 2048, 254)，就存在这样的时间 - 内存权衡。
在多项式内存领域，寻找满足MiTM方程的s1和s2的问题可以被表述为一个爪查找问题。具体步骤如下：
1. 定义两个函数f1 : s1 → πr(ℓ(As1))和f2 : s2 → πr(ℓ(b - As2))，其中πr是投影函数，ℓ是Odlyzko的哈希函数。
2. f1和f2的定义域是s1和s2的搜索空间，大小为S。如果选择r = ⌈log3(S)⌉，则其值域可以（几乎）客观地映射到与定义域大小相同的三元向量集。
对于f1和f2的爪是一对(s1, s2)，它给出正确的s = s1 + s2。经典地，我们使用碰撞查找算法来找到爪。假设f1和f2表现得像随机函数，期望它们之间有S次碰撞，其中R次是有效的，那么找到一个有效碰撞的期望时间Tclass = √S · S/R。
量子地，爪查找问题也有相关研究。Buhrman等人的工作使用了Grover算法，允许在多项式内存机制下运行。该算法简单地在所有(s1, s2)上创建一个叠加态，并应用Grover算法来找到一个有效对。Grover例程的检查函数验证(As1 - (b - As2))是否为三元向量，并且相应的(s1, s2)是否具有正确的权重。由于我们期望在大小为S²的搜索空间中有R个有效对，Grover算法在期望时间Tquant = S/√R内输出一个解。
以下是不同算法在不同参数下的比特复杂度表格：
| (n, q, w) | 经典 | 量子 |
| --- | --- | --- |
| NTRU - Enc (509, 2048, 254) | 491 | 401 |
| (677, 2048, 254) | 581 | 463 |
| (821, 4096, 510) | 856 | 7
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