旅行商问题与图着色问题研究

### 旅行商问题与图着色问题研究 #### 旅行商问题（TSP）相关研究 在旅行商问题领域，对于具有强化三角不等式的 $\Delta\beta$-TSP（$ \frac{1}{2} < \beta < 1$），这是一个困难的优化问题。 - **NP 难问题证明**：对于任意 $\varepsilon > 0$ 和任意 $ \frac{1}{2} < \beta < 1$，在 $ \frac{7611 + 10\beta^2 + 5\beta}{7612 + 8\beta^2 + 4\beta} - \varepsilon$ 范围内近似 $\Delta\beta$-TSP 是 NP 难的。证明方法类似于定理 1 的证明，只是使用边成本 $\{1, 2\beta, 2\beta^2 + \beta\}$ 代替 $\{1, 2, 3\}$。 - **基本观察与引理** - 设 $G = (V, E)$ 是一个具有成本函数 $cost : E \to \mathbb{R}_{>0}$ 的完全图，$c_{min} = \min_{e\in E} cost(e)$，$c_{max} = \max_{e\in E} cost(e)$，$H_{opt}$ 表示 $G$ 中的最优哈密顿回路。 - 引理 1：对于任意两条有公共端点的边 $e_1$，$e_2$，有 $cost(e_1) \leq \frac{\beta}{1 - \beta} \cdot cost(e_2)$。证明过程基于 $\beta$-三角不等式，对于由边 $e_1$，$e_2$，$e_3$ 组成的任意三角形，根据不等式关系推导得出。 - 引理 2：$c_{max} \leq \frac{2\beta^2}{1 - \beta} \cdot c_{min}$。分两种情况证明，若两条边有公共端点，根据引理 1 可直接得出；若没有公共端点，结合引理 1 和三角不等式证明。该引理直接表明，对于 $\Delta\beta$-TSP 的每个输入实例的哈密顿回路 $H$，有 $\frac{cost(H)}{cost(H_{opt})} \leq \frac{2\beta^2}{1 - \beta}$。 以下是几种改进近似比的方法： - **使用 $\Delta$-TSP 近似算法** - **Christofides 算法**：对于 $ \frac{1}{2} \leq \beta < 1$，Christofides 算法是一个 $(1 + \frac{2\beta - 1}{3\beta^2 - 2\beta + 1})$-近似算法。该算法通过在构建匹配和从欧拉回路构造哈密顿回路两个不同部分缩短路径，统计证明可以节省构造的欧拉图中许多边的成本。 - **修改 $\alpha$-近似算法**：设 $A$ 是一个 $\Delta$-TSP 的近似算法，近似比为 $\alpha$，对于 $ \frac{1}{2} < \beta < 1$，$A$ 是 $\Delta\beta$-TSP 的近似算法，近似比为 $\frac{\alpha\cdot\beta^2}{\beta^2 + (\alpha - 1)\cdot(1 - \beta)^2}$。具体操作是从所有边中减去一个合适的成本 $c = (1 - \beta) \cdot 2 \cdot c_{min}$，将 $\Delta\beta$-TSP 的输入实例转化为 $\Delta$-TSP 的输入实例，证明转化后的实例仍满足三角不等式，且最优哈密顿回路不变，进而推导得出近似比。 - **循环覆盖算法** - **算法步骤** 1. 构建图 $G$ 的最小成本循环覆盖 $C = \{C_1, \dots, C_k\}$，即使用长度大于 3 的循环覆盖图 $G$ 中的所有节点。 2. 对于每个循环 $C_i$，找到其中最便宜的边 $\{a_i, b_i\}$。 3. 通过将边 $\{\{a_i, b_i\} | 1 \leq i \leq k\}$ 替换为边 $\{\{b_i, a_{i + 1}\} | 1 \leq i \leq k - 1\} \cup \{\{b_k, a_1\}\}$ 得到图 $G$ 的哈密顿回路 $H$。 - **算法性能**：对于 $ \frac{1}{2} \leq \beta < 1$，循环覆盖算法