图挖掘、社交网络分析与多关系数据挖掘

### 图挖掘、社交网络分析与多关系数据挖掘 在当今的数据处理领域，频繁项集挖掘和序列模式挖掘已经得到了广泛的研究。然而，许多科学和商业应用需要挖掘比频繁项集和序列模式更复杂的模式，这些模式涉及树、格、图、网络等复杂结构。其中，图作为一种通用的数据结构，在建模复杂结构及其交互方面变得越来越重要，广泛应用于化学信息学、生物信息学、计算机视觉等多个领域。本文将重点探讨图挖掘的相关内容，包括频繁子图挖掘的方法、变体和约束子结构模式的挖掘，以及图挖掘在索引、相似性搜索、分类和聚类等方面的应用。 #### 1. 图挖掘概述 图在建模复杂结构方面具有重要作用，如电路、图像、化学化合物等。随着对大量结构化数据分析需求的增加，图挖掘成为数据挖掘领域的一个活跃且重要的主题。在各种图模式中，频繁子结构是可以在图集合中发现的最基本模式，对于表征图集合、区分不同图组、对图进行分类和聚类、构建图索引以及在图数据库中进行相似性搜索都非常有用。 #### 2. 频繁子图挖掘方法 在介绍图挖掘方法之前，需要先了解一些与频繁图挖掘相关的基本概念。对于图 \(g\)，其顶点集记为 \(V(g)\)，边集记为 \(E(g)\)。标签函数 \(L\) 将顶点或边映射到标签。如果存在从图 \(g\) 到图 \(g'\) 的子图同构，则 \(g\) 是 \(g'\) 的子图。给定一个带标签的图数据集 \(D = \{G_1, G_2, \cdots, G_n\}\)，支持度 \(support(g)\)（或频率 \(frequency(g)\)）定义为 \(D\) 中 \(g\) 作为子图出现的图的百分比（或数量）。支持度不低于最小支持阈值 \(min sup\) 的图称为频繁图。 发现频繁子结构通常包括两个步骤：首先生成频繁子结构候选，然后检查每个候选的频率。大多数关于频繁子结构发现的研究都集中在第一步的优化上，因为第二步涉及子图同构测试，其计算复杂度非常高（即 NP 完全问题）。 频繁子结构挖掘主要有两种基本方法：基于 Apriori 的方法和模式增长方法。 ##### 2.1 基于 Apriori 的方法 基于 Apriori 的频繁子结构挖掘算法与基于 Apriori 的频繁项集挖掘算法具有相似的特点。该方法从小“规模”的图开始搜索频繁图，并通过生成具有额外顶点、边或路径的候选项以自底向上的方式进行。图的规模定义取决于所使用的算法。 AprioriGraph 是基于 Apriori 的频繁子结构挖掘的通用框架，采用逐层挖掘的方法。在每次迭代中，新发现的频繁子结构的规模增加 1。这些新子结构首先通过合并两个相似但略有不同的频繁子图生成，然后检查新形成图的频率，将频繁的图用于下一轮生成更大的候选项。 ```plaintext Algorithm: AprioriGraph. Apriori-based frequent substructure mining. Input: D, a graph data set; min sup, the minimum support threshold. Output: Sk, the frequent substructure set. Method: S1 ← frequent single-elements in the data set; Call AprioriGraph(D, min sup, S1); procedure AprioriGraph(D, min sup, Sk) (1) Sk+1 ← ∅; (2) for each frequent gi ∈ Sk do (3) for each frequent gj ∈ Sk do (4) for each size (k + 1) graph g formed by the merge of gi and gj do (5) if g is frequent in D and g ∉ Sk+1 then (6) insert g into Sk+1; (7) if Sk+1 ≠ ∅ then (8) AprioriGraph(D, min sup, Sk+1); (9) return; ``` 近期基于 Apriori 的频繁子结构挖掘算法包括 AGM、FSG 和路径连接方法。AGM 使用基于顶点的候选生成方法，每次迭代将子结构规模增加一个顶点；FSG 采用基于边的候选生成策略，每次调用将子结构规模增加一条边；路径连接方法根据图的不相交路径数量对图进行分类，并通过合并具有 \(k\) 条不相交路径的子结构生成具有 \(k + 1\) 条不相交路径的子结构模式。 然而，基于 Apriori 的算法在合并两个大小为 \(k\) 的频繁子结构以生成大小为 \(k + 1\) 的图候选项时存在相当大的开销。为了避免这种开销，最近开发了非 Apriori 算法，其中大多数采用模式增长方法。 ##### 2.2 模式增长方法 基于 Apriori 的方法由于其逐层候选生成的方式，必须使用广度优先搜索（BFS）策略。在确定大小为 \(k + 1\) 的图是否频繁之前，通常需要完成大小为 \(k\) 的子图的挖掘。而模式增长方法在搜索方法上更加灵活，可以使用广度优先搜索和深度优先搜索（DFS），后者消耗的内存更少。 图 \(g\) 可以通过添加新边 \(e\) 进行扩展，新形成的图记为 \(g \diamond_x e\)。如果 \(e\) 引入了新顶点，则新图记为 \(g \diamond_x^f e\)；否则，记为 \(g \diamond_x^b e\)，其中 \(f\) 或 \(b\) 表示扩展是向前还是向后方向。 PatternGrowthGraph 是基于模式增长的频繁子结构挖掘的通用框架，对于每个发现的图 \(g\)，它递归地进行扩展，直到发现所有嵌入 \(g\) 的频繁图。然而，该算法效率不高，因为同一个图可能会被多次发现，导致计算效率低下。为了减少重复图的生成，设计了一些新算法，例如 gSpan 算法。 ```plaintext Algorithm: PatternGrowthGraph. Simplistic pattern growth-based frequent substructure mining. Input: g, a frequent graph; D, a graph data set; min sup, minimum support threshold. Output: The frequent graph set, S. Method: S ← ∅; Call PatternGrowthGraph(g, D, min sup, S); procedure PatternGrowthGraph(g, D, min sup, S) (1) if g ∈ S then return; (2) else insert g into S ```