编程语言语义与实现技术解析

### 编程语言语义与实现技术解析 #### 1. 大步语义与小步语义 大步语义（big - step semantics），有时也称为自然语义，它直接阐述了“这个项求值为那个最终值”的概念，用 $t ⇓v$ 表示。对于布尔和算术表达式语言，大步求值规则如下： - **值规则（B - Value）**：$v ⇓v$ - **条件为真规则（B - IfTrue）**：若 $t_1 ⇓true$ 且 $t_2 ⇓v_2$，则 $if\ t_1\ then\ t_2\ else\ t_3 ⇓v_2$ - **条件为假规则（B - IfFalse）**：若 $t_1 ⇓false$ 且 $t_3 ⇓v_3$，则 $if\ t_1\ then\ t_2\ else\ t_3 ⇓v_3$ - **后继规则（B - Succ）**：若 $t_1 ⇓nv_1$，则 $succ\ t_1 ⇓succ\ nv_1$ - **前驱为零规则（B - PredZero）**：若 $t_1 ⇓0$，则 $pred\ t_1 ⇓0$ - **前驱为后继规则（B - PredSucc）**：若 $t_1 ⇓succ\ nv_1$，则 $pred\ t_1 ⇓nv_1$ - **判断为零为真规则（B - IszeroZero）**：若 $t_1 ⇓0$，则 $iszero\ t_1 ⇓true$ - **判断为零为假规则（B - IszeroSucc）**：若 $t_1 ⇓succ\ nv_1$，则 $iszero\ t_1 ⇓false$ 需要证明该语言的小步语义和大步语义是一致的，即 $t \rightarrow^{*}v$ 当且仅当 $t ⇓v$。 此外，还有一个练习：若要改变语言的求值策略，使得 `if` 表达式的 `then` 和 `else` 分支在条件判断之前按顺序求值，需要对求值规则进行相应修改。 #### 2. 相关概念的背景知识 抽象语法、具体语法、解析等概念在众多编译器教材中都有解释。归纳定义、推理规则系统和归纳证明等内容，在 Winskel（1993）和 Hennessy（1990）的著作中有更详细的介绍。这里使用的操作语义风格可追溯到 Plotkin（1981）的技术报告，大步风格则由 Kahn（1987）提出。结构归纳法由 Burstall（1969）引入计算机科学领域。 #### 3. ML 实现布尔和算术表达式语言 为了更好地理解形式定义背后的直觉，我们可以通过具体实现来“落地”这些概念。这里使用 OCaml 语言来实现布尔和算术表达式语言。 ##### 3.1 语法定义 首先，定义表示项的 OCaml 值类型： ```ocaml type term = TmTrue of info | TmFalse of info | TmIf of info * term * term * term | TmZero of info | TmSucc of info * term | TmPred of info * term | TmIsZero of info * term ``` 其中，`TmTrue` 到 `TmIsZero` 这些构造函数表示抽象语法树中不同类型的节点，`of` 后面的类型指定了该类型节点所连接的子树数量。每个抽象语法树节点都带有一个 `info` 类型的值，用于描述该节点在源文件中的字符位置，这个信息由解析器在扫描输入文件时创建，用于在打印时向用户指示错误发生的位置。 为了定义求值关系，需要检查一个项是否为数值： ```ocaml let rec isnumericval t = match t with TmZero(_) -> true | TmSucc(_,t1) -> isnumericval t1 | _ -> false ``` 这是一个通过模式匹配进行递归定义的典型例子。`isnumericval` 函数在应用于 `TmZero` 时返回 `true`；应用于 `TmSucc` 时，递归调用自身检查子项是否为数值；应用于其他项时返回 `false`。 检查一个项是否为值的函数类似： ```ocaml let rec isval t = match t with TmTrue(_) -> true | TmFalse(_) -> true | t when isnumericval t -> true | _ -> false ``` 其中，第三个子句是“条件模式”，只有当 `isnumericval t` 为 `true` 时才匹配。 ##### 3.2 求值实现 求值关系的实现紧密遵循单步求值规则。当应用于非值的项时，这些规则定义了一个部分函数，给出该项的下一步求值结果；当应用于值时，求值函数没有结果。为了将求值规则转换为 OCaml 代码，需要决定如何处理这种情况。一种直接的方法是编写单步求值函数 `eval1`，当没有求值规则适用于给定的项时，抛出异常。 首先定义异常： ```ocaml exception NoRuleApplies ``` 然后实现单步求值器： ```ocaml let rec eval1 t = match t with TmIf(_,TmTrue(_),t2,t3) -> t2 | TmIf(_,TmFalse(_),t2,t3) -> t3 | TmIf(fi,t1,t2,t3) -> let t1’ = eval1 t1 in TmIf(fi, t1’, t2, t3) | TmSucc(fi,t1) -> let t1’ = eval1 t1 in TmSucc(fi, t1’) | TmPred(_,TmZero(_)) -> TmZero(dummyinfo) | TmPred(_,TmSucc(_,nv1)) when (isnumericval nv1) -> nv1 | TmPred(fi,t1) -> let t1’ = eval1 t1 in TmPred(fi, t1’) | TmIsZero(_,TmZero(_)) -> TmTrue(dummyinfo) | TmIsZero(_,TmSucc(_,nv1)) when (isnumericval nv1) -> TmFalse(dummyinfo) | TmIsZero(fi,t1) -> let t1’ = eval1 t1 in ```