模糊C均值问题的新型初始化算法

# 模糊C均值问题的新型初始化算法 ## 1. 引言 数据聚类是一个经典问题，在机器学习、模式识别、设施选址等众多领域都有应用。在不同的聚类模型中，k - 均值问题是应用最广泛的模型之一。给定整数 k 和一组 n 个数据点，k - 均值问题的目标是选择 k 个中心，以使每个点与其最近中心之间的平方距离之和最小。数据样本随后可根据它们到中心的距离分配到 k 个聚类中。该问题已被证明是 NP 难问题。 Lloyd 方法是解决 k - 均值问题的一种启发式算法，因其易于实现和速度快而被广泛使用。它从数据点中随机选择 k 个中心开始，将每个点分配到最近的中心，然后将每个中心重新计算为分配给它的所有点的质心，重复这两个步骤直到过程稳定。为了提高 Lloyd 方法的准确性，提出了 k - 均值++算法，该算法被证明与最优聚类具有 O(log k)的竞争力。 然而，在许多实际应用中，不同类别之间没有严格的界限，一个对象可能在不同程度上属于多个聚类。在这种情况下，软聚类策略比硬聚类更自然。例如，在一个地区规划 k 个超市的位置时，如果假设人们只去最近的超市，那么超市的位置可以建模为 k - 均值问题；但实际上，人们的选择会受到多种因素影响，这就导致了模糊 C 均值模型。 模糊 C 均值问题为每个对象定义了与每个代表之间的隶属度（介于 0 和 1 之间），以描述它们之间的接近程度。它可以看作是 k - 均值问题的推广，在 k - 均值问题中，隶属度要么是 0 要么是 1。当 k 固定时，有研究者提出了模糊 C 均值问题的多项式时间近似方案（PTAS）。 2015 年，提出了模糊 C 均值++算法（FCM++）来解决模糊 C 均值问题，它利用了 k - 均值++的播种策略来提高经典算法的有效性和速度。数值实验表明，该算法显著改善了计算时间和最终成本函数值，但对 FCM++的理论分析尚未解决。 ## 2. 模糊 C 均值问题基础 ### 2.1 问题定义 给定集合 \(X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) 和 \(C = \{c_1, c_2, \ldots, c_k\}\) 在 \(R^d\) 中，\(\mu_{ij} \in [0, 1]\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)；\(j = 1, 2, \ldots, k\)）且 \(\sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij} = 1\) 对于 \(i = 1, 2, \ldots, n\)，以及 \(m \geq 2\)，可以定义 \(X\) 相对于 \(C\) 的损失函数或势函数为： \(\varphi(X, C, m) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij}^{m} \|x_i - c_j\|^2\) 通常，称 \(m\) 为模糊化参数，\(\mu = (\mu_{ij})_{n \times k}\) 为隶属度。模糊 C 均值问题就是找到一个聚类 \(C\) 和隶属度 \(\mu\)，使损失函数 \(\varphi(X, C, m)\) 最小化。用 \((C^*(m), \mu^*(m))\) 表示最优解，\(\varphi^*(m)\) 表示相应的目标值。当 \(m = 1\) 时，模糊 C 均值问题简化为 k - 均值问题。 ### 2.2 示例 考虑集合 \(X = \{0.0153, 0.7353, 0.4143, 0.2110\} \subseteq R\) 和 \(k = 2\)。该问题的 k - 均值最优解是 \(\{0.5748, 0.1132\}\)，而对于模糊 C 均值问题，\(\{0.5748, 0.1132\}\) 的目标值是 0.0624，存在更好的中心集 \(\{0.1414, 0.6533\}\)，其势函数值为 0.058955。这表明在相同数据集下，k - 均值和模糊 C 均值问题的最优中心可能不同。 ### 2.3 后续假设 在后续讨论中，假设 \(m = 2\)，损失函数定义为： \(\varphi(X, C) = \varphi(X, C, 2) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij}^{2} \|x_i - c_j\|^2\) 用 \((C^*, \mu^*)\) 表示最优解，\(\varphi^*\) 表示相应的目标值。给定集合 \(A \subseteq X\)，定义： \(\varphi(A, C) = \sum_{x_i \in A} \sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij}^{2} \|x_i - c_j\|^2\) \(\varphi^*(A) = \sum_{x_i \in A} \sum_{c_j \in C^*} \mu_{ij}^{*2} \|x_i - c_j^*\|^2\) 特别地，当 \(A = \{a\}\) 时，用 \(\varphi(a, C)\) 表示 \(A\) 相对于 \(C\) 的损失函数。 ### 2.4 最优隶属度和中心计算 给定任何集合 \(C = \{c_1, c_2, \ldots, c_k\}\)，可以得到最优隶属度为： \(\mu_{ij} = \frac{1}{\sum_{l = 1}^{k} (\frac{\|x_i - c_j\|}{\|x_i - c_l\|})^2}, i = 1, 2, \ldots, n; j = 1, 2, \ldots, k\) 任何点 \(x_i \in X\) 不考虑隶属度的损失函数为： \(\varphi(x_i, C) = \sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij}^{2} \|x_i - c_j\|^2 = \frac{1}{\sum_{l = 1}^{k} \frac{1}{\|x_i - c_l\|^2}}\) 反之，给定任何 \(\mu\) 且 \(\sum_{j = 1}^{k} \mu_{ij} = 1\)，\(i = 1, 2, \ldots, n\)，可以得到对应于 \(\mu\) 的最优中心点为： \(c_j = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \mu_{ij}^{2} x_i}{\sum_{i = 1}^{n} \mu_{ij}^{2}}, j = 1, 2, \ldots, k\) ## 3. 播种算法及主要结果 ### 3.1 算法介绍 这里主要介绍基于 FCM 算法的模糊 C 均值问题的播种算法。FCM 算法在每次迭代中更新聚类中心和隶属度，直到聚类或隶属度不再变化。 #### 3.1.1 FCM 算法 ```plaintext 算法 1. FCM 模糊 C 均值算法 输入: 一组 n 个数据点 \(X = \{x_i\}_{i = 1}^{n}\)，聚类数 k ```