肿瘤基因表达数据分类与稀疏信号分析的创新方法

### 肿瘤基因表达数据分类与稀疏信号分析的创新方法 #### 肿瘤基因表达数据分类的 LLRFC 方法 随着 DNA 微阵列技术的出现，同时监测基因组中所有基因的表达变得至关重要。然而，如何解读这些数据并深入了解生物过程和人类疾病的机制仍然是一个挑战。目前，已有许多关于微阵列基因表达数据分析用于癌症分子分类的研究。 常见的方法如主成分分析（PCA）和独立成分分析（ICA），虽然能对数据结构进行一定的表征，但它们都使用线性技巧，会破坏原始数据中隐藏的大部分非线性信息。为了解决这个问题，提出了一种基于局部线性嵌入（LLE）的判别流形学习方法，即局部线性表示 Fisher 准则（LLRFC）。 ##### 经典 LLE 算法 LLE 的目标是将高维数据映射到低维流形空间。其步骤如下： 1. **确定最近邻**：对于每个数据点 $X_i$，通过 kNN 准则或 ε - 球准则确定其 k 个最近邻。通常使用欧几里得距离来定义邻域，也可以使用更复杂的准则，如核空间中的欧几里得距离或余弦距离。 2. **计算最优重建权重**：通过最小化 $X_i$ 由其 k 个最近邻线性重建的误差来计算最优重建权重。优化目标为： $$\varepsilon(W_i)=\min_{W_{ij}}\sum_{j = 1}^{k}\left|X_i - \sum_{j = 1}^{k}W_{ij}X_j\right|^2$$ 3. **计算低维嵌入**：基于步骤 2 得到的权重矩阵 $W$ 计算最优低维嵌入 $Y$。定义一个稀疏、对称且半正定的矩阵 $M$ 为： $$M=(I - W)^T(I - W)$$ 则低维嵌入 $Y$ 满足： $$\varepsilon(Y)=\min_{Y}\sum_{i,j}M_{ij}\left|Y_i - Y_j\right|^2=\min_{Y}\text{tr}(Y^TMY)$$ ##### LLRFC 方法 原始的 LLE 常用于数据可视化，但不能有效地提取用于分类的特征。原因在于 LLE 在挖掘高维数据时，只保留局部流形结构而不考虑类别信息。因此，提出了 LLRFC 方法，结合流形局部性保留和类别信息来提高分类性能。 1. **动机**：将流形局部性保留和类别信息结合，一方面保留局部性有助于挖掘流形分布的数据，另一方面引入类别信息可以监督邻域的构建，提高分类性能。 2. **构建图**： - **类内图**：对于任何样本，其 k 个最近邻应与样本具有相同的标签，且这些邻居是与样本欧几里得距离最小的前 k 个点。样本可以由其 k 个最近邻以最优权重进行良好重建，优化目标为： $$\varepsilon_{intra}(W)=\min_{W_{ij}}\sum_{j = 1}^{k}\left|X_i - \sum_{j = 1}^{k}W_{ij}X_j\right|^2$$ - **类间图**：首先，对于任何点 $X_i$，引入超球或 kNN 准则确定其预定义邻域；然后，将位于预定义邻域内的点按其与点 $X_i$ 的欧几里得距离升序排序，选择与点 $X_i$ 标签不同的前 k 个点作为其类间邻居。同样可以得到类间图的最优重建权重。 3. **Fisher 准则建模**：基于类内图和类间图，建立 Fisher 准则，以最大化类间图散度并最小化类内图散度。引入线性变换 $Y = A^TX$，通过拉格朗日乘数法求解线性变换 $A$，使得： $$X^TM_{inter}XA=\lambda X