树同胚问题的高效算法解析

### 树同胚问题的高效算法解析 #### 1. 引言 树同胚匹配问题在处理 XML 文档等树形结构数据时具有重要意义。在解决该问题时，我们会涉及到多种算法，包括自上而下和自下而上的匹配方法。不同算法在时间和空间复杂度上各有优劣，下面将详细介绍这些算法及其特点。 #### 2. 自上而下算法的复杂度分析 - **时间复杂度**：Match 和 Exact - Match 的时间复杂度为 $O(|subtree(d)| · |subtree(q)|)$。由于 Top - Down - Match 会为每个数据节点调用 Exact - Match，所以其运行时间为 $O(|D|^2 · |Q|)$，并且会进行 $O(|D|^2 · |Q|)$ 次数据节点和查询节点之间的比较。 - **空间复杂度**：该算法可以由确定性对数空间有界的辅助下推自动机执行，且运行时间为多项式时间。树同胚匹配问题属于 LOGDCFL。算法 1 的最大递归深度为 $O(depth(D))$，这使得算法在空间上较为高效，但数据树大小的二次方运行时间以及大量不必要的查询和数据节点比较并不令人满意。 #### 3. LOGSPACE 过程 - **算法思路**：虽然自上而下算法不太适合高效计算所有满足 $D |=u Q$ 的节点 $u$，但从复杂度理论的角度来看，它对于判断 $D |= Q$ 很有用。我们可以将算法 1 转换为一个 LOGSPACE 算法来判断 $D |= Q$。该算法与算法 1 一样，以自上而下的方式处理数据和查询树，并从左到右处理节点的子节点。关键区别在于回溯过程。 - **LOGSPACE 算法代码**： ```plaintext Algorithm 2. LOGSPACE decision procedure: Top - down algorithm L - Match. We assume left - to - right preordering on trees. L - Match (DNode d, QNode q) 2: if d matches q, and both d and q have children then return L - Match (d + 1,q + 1) 4: else if d does not match q and d has a child then return L - Match (d + 1, q) 6: else if d matches q and q is a leaf then if q is maximal in Q then return true ▷none of q’s ancestors has a right sib. 8: else d′ ←Backtrack(d, q + 1) ▷node onto which q + 1’s parent was matched 10: return L - Match (d′ + 1, q + 1) end if 12: else ▷d is a leaf and (d does not match q or q is not a leaf) if d is maximal in D then return false 14: end if while q has a parent do 16: d′ ←Backtrack(d, q) ▷node onto which q’s parent was matched if d′ is an ancestor of d + 1 then return L - Match (d + 1, q) 18: else q ←q.parent end if 20: end while return L - Match (d + 1, q) 22: end if ``` - **回溯过程**：当算法 1 将查询树的叶子节点 $q$ 匹配到某个数据节点 $d$ 时，它使用递归栈来查找 $q$ 的父节点在数据树中匹配的节点。而 LOGSPACE 算法则进入子过程 Backtrack(d, q) 重新计算该节点。Backtrack(d, q) 会计算从 $D$ 的根到 $d$ 的路径上最高可能的节点 $d′′$，使得从 $D$ 的根到 $d′′$ 的路径与从 $Q$ 的根到 $q$ 的父节点的路径匹配。该过程可以在图灵机上仅使用对数空间执行。 - **算法正确性和复杂度**：算法 2 是正确的，即给定数据树 $D$ 和查询树 $Q$ 的根节点 $d$ 和 $q$，算法 2 可以判断 $D |= Q$，并且只使用对数空间。树同胚问题是 LOGSPACE 完全的。 #### 4. 自下而上算法 - **算法背景**：之前介绍的自上而下的树同胚匹配算法虽然在空间上较为高效，但时间复杂度较高，且涉及大量已获得匹配的重新计算。因此，我们转向自下而上的匹配方法，该方法无需重新计算数据和查询树之间已获得的匹配，从而提高了整体算法的时间复杂度。 - **形式概念引入**： - **节点排序**：在本节中，我们假设树和树篱中的节点采用从左到右的后序排序。对于树篱 $H$ 中具有 $k$ 个孩子的每个节点 $u$，有 $u_1 < u_2 < · · · < u_k < u$。对于节点 $u$，$u + 1$ 表示从左到右后序遍历中的下一个节点。 - **区间和子树篱**：给定树篱 $H$ 中的两个节点 $h_{from} ≤ h_{until}$，区间 $[h_{from}, h_{until}]$ 表示 $H$ 中仅由节点 $\{v | h_{from} ≤ v ≤ h_{until}\}$ 组成的子树篱。对于树篱 $H$ 和节点 $h ∈ Dom(H)$，$subhedge_H(h)$ 表示子树篱 $[h_{from}, h]$，其中 $h_{from}$ 是 $h$ 的最左兄弟的最小后代。 - **树模式匹配扩展**：设 $Q_1 · · · Q_n$ 是查询树篱区间 $[q_{from}, q_{until}]$，$D_1 · · · D_m$ 是数据树