群密钥协议的通信效率与自适应多方非交互式密钥交换技术

# 群密钥协议的通信效率与自适应多方非交互式密钥交换技术 ## 群密钥协议通信复杂度分析 ### 相关定义 首先，我们来了解一些关键的定义。设 Seq 是从分布 LazyBad(PreAddSeq) 或 ActiveBad(PreAddSeq) 中抽取的 CGKA 操作序列，CCΠ[Op] 表示 CGKA 协议 Π 在按顺序执行 Seq 中所有先前操作后，执行操作 Op 的通信成本。 - 协议 Π 执行 Seq 的摊销通信复杂度定义为：CCΠ[Seq] := (∑Op∈P2∪P3 CCΠ[Op])/((α − 1) · (ℓ + 1))，其中 P2 和 P3 是 Seq 在 LazyBad(PreAddSeq) 或 ActiveBad(PreAddSeq) 中对应的阶段。 - 协议 Π 在从 LazyBad(PreAddSeq) 或 ActiveBad(PreAddSeq) 中随机抽取的 Seq 上的期望摊销通信复杂度分别为：CCΠ(LazyBad(PreAddSeq)) := ESeq←$LazyBad(PreAddSeq)[CCΠ[Seq]] 和 CCΠ(ActiveBad(PreAddSeq)) := ESeq←$ActiveBad(PreAddSeq)[CCΠ[Seq]]，这里的随机性源于 Seq 的选择和协议 Π 的随机硬币。 ### 特定操作序列与定理 我们定义一个特定的有效 CGKA 操作序列 Fulln，它按顺序包含以下操作：(Add, PK1, PK2), (Add, PK1, PK3), ..., (Add, PK1, PKn), (Up, PK1, ⊥), (Up, PK2, ⊥), ..., (Up, PKn, ⊥)。 定理表明，设 ℓ = O(k / log n)，对于每个 CGKA 协议 Π 和每个 PreAddSeq，存在另一个协议 Π′，使得要么 CCΠ(LazyBad(PreAddSeq)) ≥ CCΠ′(LazyBad(Fulln)) · Ω(ℓ / α²)，要么 CCΠ(ActiveBad(PreAddSeq)) ≥ CCΠ′(ActiveBad(Fulln)) · Ω(k / ℓ log n)。PreAddSeq 可以是任何能产生包含 n 个成员的组的有效序列，包括但不限于 Fulln。 ### 协议分类 在证明该定理之前，我们根据 CGKA 协议 Π 在从 LazyBad(PreAddSeq) 或 ActiveBad(PreAddSeq) 中抽取的序列的阶段 P2 中的预期行为，将其分为两类： - **Lazy 协议**：如果 Pr[∃i ∈ [α − 1] : CCΠ(Op2,i) = o(k)] > 1/2，则协议 Π 是 Lazy 协议。这意味着在阶段 P2 中，更有可能存在一些“懒惰”用户，即其更新操作 Op2,i = (Up, PKi+1, ⊥) 的通信成本 CCΠ[Op] = o(k)。 - **Active 协议**：反之，如果不满足上述条件，则协议 Π 是 Active 协议，即在阶段 P2 中更有可能所有用户都是“重负载”用户，其更新操作的通信成本 CCΠ[Op] = Ω(k)。 ### 相关引理与推论 以下是一些重要的引理： - 存在协议 ΠActive，它在从 LazyBad(n, Fulln, k, α, ℓ) 中随机抽取的 Seq 上的期望摊销通信成本为 CCΠActive(LazyBad(Fulln)) = O(k / ℓ + log n)。 - 对于每个 Lazy 协议 Π 和每个 PreAddSeq，它在从 LazyBad(n, PreAddSeq, k, α, ℓ) 中随机抽取的 Seq 上的期望总通信成本为 CCΠ(LazyBad(PreAddSeq)) = Ω(k / α²)。 - 存在协议 ΠLazy，它在从 ActiveBad(n, Fulln, k, α, ℓ) 中随机抽取的 Seq 上的期望总通信成本为 CCΠLazy(ActiveBad(Fulln)) = O(log n)。 - 对于每个 Active 协议 Π 和每个 PreAddSeq，它在从 ActiveBad(n, PreAddSeq, k, α, ℓ) 中随机抽取的 Seq 上的期望总通信成本为 CCΠ(ActiveBad(PreAddSeq)) = Ω(k / ℓ)。 基于这些引理，我们可以得到一个推论：设 k = Ω(n)，ℓ = Θ(√n)，α = O(√log n)，那么对于每个协议 Π，存在另一个协议 Π′，使得在从 ActiveBad(Fulln) 或 LazyBad(Fulln) 中随机抽取的序列上，Π′ 的期望摊销通信性能比 Π 好 Ω(√n / log n) 倍。 下面我们用表格总结一下这些信息： | 协议类型 | 相关分布 | 期望通信成本 | | --- | --- | --- | | ΠActive | LazyBad(n, Fulln, k, α, ℓ) | O(k / ℓ + log n) | | 任意 Lazy 协议 Π | LazyBad(n, PreAddSeq, k, α, ℓ) | Ω(k / α²) | | ΠLazy | ActiveBad(n, Fulln, k, α, ℓ) | O(log n) | | 任意 Active 协议 Π | ActiveBad(n, PreAddSeq, k, α, ℓ) | Ω(k / ℓ) | 我们可以用 mermaid 绘制一个简单的流程图来展示协议分类和相关期望通信成本的关系： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; ```