任意域上内积的同时正交化

### 任意域上内积的同时正交化 #### 1. 预备知识与基本结果 在向量空间的研究中，内积的同时正交化是一个重要的课题。设 $V$ 是域 $K$ 上的向量空间，一个内积族 $F = \{⟨·, ·⟩_i\}_{i∈I}$（对称双线性形式），如果存在 $V$ 的一个基 $\{v_j\}_{j∈\Omega}$，使得对于任意的 $i∈I$，当 $j \neq k$ 时，都有 $⟨v_j, v_k⟩_i = 0$，则称这个内积族是同时可正交化的。 如果存在 $i∈I$，使得 $⟨·, ·⟩_i$ 是非退化的，那么称内积族 $F$ 是非退化的；否则，称 $F$ 是退化的。 设 $V$ 是域 $K$ 上带有内积 $⟨·,·⟩: V × V → K$ 的向量空间，$T : V → V$ 是线性映射。当对于任意的 $x, y ∈ V$，都有 $⟨T(x), y⟩ = ⟨x, T^♯(y)⟩$ 时，称 $T^♯: V → V$ 是 $T$ 的伴随。如果 $T$ 的伴随存在且 $T^♯ = T$，则称 $T$ 是自伴随的。在有限维向量空间上的非退化内积的情况下，伴随的存在是有保证的。 对于有限维 $K$ -向量空间 $V$ 和内积 $⟨·,·⟩$，当 $K$ 的特征（$char(K)$）不等于 2 时，存在相对于 $⟨·,·⟩$ 的正交基。但在特征为 2 的情况下，有些内积没有正交基，例如在二元域 $F_2$ 上的向量空间 $F_2^2$ 中，矩阵为 $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 的内积。即使在特征不为 2 的域上，也存在不能同时正交化的内积集合，如在实向量空间 $\mathbb{R}^2$ 中，在标准基下矩阵分别为 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ 的内积就不能同时正交化。 下面是一些相关的结论： - **结论 1**：如果 $F$ 是有限维向量空间 $V$（维度为 $n$）上的内积族，且 $F$ 是同时可正交化的，那么 $F$ 中线性无关元素的最大数量是 $n$。因此，如果在 $n$ 维向量空间上有超过 $n$ 个线性无关的内积，就可以得出 $F$ 不是同时可正交化的。 - **结论 2**：如果 $F = \{⟨·, ·⟩_i\}_{i∈I}$ 是域 $K$ 上向量空间 $V$ 上的内积族，可能 $F$ 在 $V$ 上不是同时可正交化的，但在标量扩张到域 $F \supset K$ 后，作为 $V_F$ 上的内积族可能是同时可正交化的。例如，实向量空间 $\mathbb{R}^2$ 中，在标准基下矩阵为 $\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ 的内积不是同时可正交化的，但在复向量空间 $\mathbb{C}^2$ 中，同样矩阵的内积相对于基 $B = \{(i, 1), (-i, 1)\}$ 是同时可正交化的。 内积同时正交化理论的一个应用是在进化代数中。一个 $K$ -代数 $A$ 是进化代数，如果存在一个基 $B = \{e_i\}_{i∈I}$（称为自然基），使得对于任意的 $i \neq j$，都有 $e_ie_j = 0$。固定 $A$ 的自然基 $B$，矩阵 $C = (c_{ij})$（其中 $c_{ij} ∈ K$ 且 $e_i^2 = \sum_j c_{ij}e_j$）称为 $A$ 相对于 $B$ 的结构矩阵。 对于交换代数 $A$ 上的乘积 $xy = \sum_{i∈I} ⟨x, y⟩_ie_i$（其中 $\{e_i\}_{i∈I}$ 是 $A$ 的任意固定基，内积 $⟨·, ·⟩_i : A × A → K$ 提供了 $xy$ 相对于该基的坐标），$A$ 是进化代数当且仅当内积集合 $⟨·, ·⟩_i$ 是同时可正交化的。 #### 2. 进化测试理想 对于域 $K$ 上的有限维交换代数 $A$，可以通过一个特定多项式代数中的理想来检测 $A$ 是否为进化代数。 设 $A$ 的维度为 $n$，考虑多项式代数 $R := K[\{z\} \cup \{x_{ij}\}_{i,j = 1}^n]$。固定 $A$ 的一个基 $\{e_i\}_{i = 1}^n$，将 $A$ 的乘积写成 $xy = \sum_{k = 1}^n ⟨x, y⟩_ke_k$ 的形式，得到内积族 $\{⟨·, ·⟩_k\}_{k = 1}^n$。定义 $M_k$ 为内积 $⟨·, ·⟩_k$ 在任意基（所有内积使用相同的基）下的 Gram 矩阵。 定义理想 $J$ 由以下多项式生成： - $p_0(x_{11}, \ldots, x_{nn}, z) := 1 - z \det[(x_{ij})_{i,j = 1}^n]$ - $p_{ijk}(x_{i1}, \ldots, x_{in}, x_{j1}, \ldots, x_{jn}) := (x_{i1}, \ldots, x_{in})M_k(x_{j1}, \ldots, x_{jn})^t$，其中 $i, j, k = 1, \ldots, n$，且 $i \neq j$。这个理想 $J$ 称为 $A$ 的进化测试理想，其形式依赖于所选的基。 有如下命题：设 $A$ 是域 $K$ 上的 $n$ 维交换代数，$J$ 是 $A$ 的进化测试理想（固定一个基），则 $A$ 是进化代数当且仅当 $V(J) \neq \varnothing$。 证明如下： - **充分性**：如果 $A$ 是进化代数，固定 $A$ 的一个自然基 $\{u_q\}_{q = 1}^n$。对于 $q = 1, \ldots, n$，设 $u_q$ 相对于基 $\{e_k\}_{k = 1}^n$ 的坐标为 $(u_{q1}, \ldots, u_{qn})$。因为当 $p \neq q$ 时，$⟨u_p, u_q⟩_k = 0$，所以对于 $i \neq j$，有 $p_{ijk}(u_{i1}, \ldots, u_{in}, u_{j1}, \ldots, u_{jn}) = 0$，且 $p_0(u_{11}, \ldots, u_{nn}, \Delta) = 0$，其中 $\Delta = \det[(u_{ij})_{i,j = 1}^n]^{-1}$。因此，$(u_{11}, \ldots, u_{nn}, \Delta) \in V(J)$。 - **必要性**：如果 $(u_{11}, \ldots, u_{nn}, \Gamma) \in V(J)$，则 $p_0(u_{11}, \ldots, u_{nn}, \Gamma) = 0$，这意味着向量 $u_q := (u_{q1}, \ldots, u_{qn})$（$q = 1, \ldots, n$）是向量空间的一个基。并且，对于 $i, j, k \in \{1, \ldots, n\}$ 且 $i \neq j$，有 $p_{ijk}(u_{i1}, \ldots, u_{in}, u_{j1}, \ldots, u_{jn}) = 0$。这表明当 $i \neq j$ 时，向量 $u_i$ 和 $u_j$ 相对于任意的 $⟨·, ·⟩_k$ 是正交的。所以，$\{u_q\}_{q = 1}^n$ 是 $A$ 的自然基。 如果 $1 \in J$，则 $V(J) = \varnothing$，从而 $A$ 不是进化代数。在代数闭域 $K$ 的情况下，$1 \in J$ 等价于 $V(J) = \varnothing$（根据希尔伯特零点定理）。 下面通过一个例子来说明：考虑一个域 $K$ 上的进化代数，其乘积由内积矩阵给出，如前面提到的 $\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$。进化测试理想 $J$ 是 $K[x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}, z]$ 中由以下多项式生成的理想： - $-x_{11}x_{21} + x_{12}x_{21} + x_{11}x_{22} + x_{12}x_{22}$ - $x_{11}x_{21} + x_{12}x_{21} + x_{11}x_{22} - x_{12}x_{22}$ - $-zx_{12}x_{21} + zx_{11}x_{22} - 1$ 当 $char(K) = 2$ 时，理想由以下多项式生成： - $x_{11}x_{21} + x_{12}x_{21} + x_{11}x_{22} + x_{12}x_{22}$ - $zx_{12}x_{21} + zx_{11}x_{22} + 1$ 对于 $K = F_2$，上述多项式的零点必须满足 $z = 1$，$x_{12}x_{21} + x_{11}x_{22} = 1$，从而 $x_{11}x_{21} + x_{12}x_{22} = 1$，有解 $x_{11} = x_{12} = 1$，$x_{21} = 0$，$x_{22} = 1$。由于任何特征为 2 的域都包含 $F_2