分布式带离群点的通用度量k-Means算法与张量核心单元模型下的并行扫描算法

### 分布式带离群点的通用度量 k-Means 算法与张量核心单元模型下的并行扫描算法 在数据处理和计算领域，分布式带离群点的 k-Means 算法以及张量核心单元模型下的并行扫描算法有着重要的应用价值。本文将详细介绍这两种算法的原理、实现以及相关特性。 #### 分布式带离群点的通用度量 k-Means 算法 在许多实际的数据聚类问题中，数据集中可能存在离群点，这些离群点会对聚类结果产生较大影响。为了解决这个问题，研究人员提出了带离群点的 k-Means 算法，并将其进行分布式处理，以提高算法的可扩展性和处理大规模数据的能力。 ##### 基本理论推导 首先，我们定义一些重要的概念和符号。设 $\hat{w}_C$ 是通过从 $w_C$ 中减去 $Z^*$ 中元素对其代理点权重的贡献得到的。那么，有如下推导： - **成本函数不等式**： - 成本函数 $cost(C, \hat{w}_C, X) = \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q, X)^2$，根据 Fact 2 可得： - $cost(C, \hat{w}_C, X) \leq (1 + \gamma) \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q, q_{S^*})^2 + (1 + (1/\gamma)) \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2$ - 又因为 $(C, w_T)$ 是一个 $\sigma$-近似核心集，所以有： - $cost(C, \hat{w}_C, X) \leq (1 + \gamma)(1 + \sigma)OPT_{k,z}(P) + (1 + (1/\gamma)) \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2$ - 接下来，我们重点关注 $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2$ 这一项。由于 $X \subset T$ 包含 $T$ 中离 $q_{S^*}$ 最近的点，所以 $d(q_{S^*}, X) = d(q_{S^*}, T)$，并且通过 CoverWithBalls 算法可知，$d(q_{S^*}, T) \leq (\gamma/\sqrt{2\beta}) \max\{R, d(q_{S^*}, C)\}$，其中 $R$ 是 CoverWithBalls 算法中使用的参数。对于 $q \in C$，有 $d(q_{S^*}, C) \leq d(q_{S^*}, q)$。经过一系列推导可得： - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/(2\beta)) \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q (R^2 + d(q, S^*)^2)$ - 进一步推导： - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/(2\beta)) \left( ((|P| - z)/|P|) \sum_{i=1}^L |P_i| \cdot R_i^2 + \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q, S^*)^2 \right)$ - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/(2\beta)) \left( \sum_{i=1}^L cost(P_i, S_i) + \sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q, S^*)^2 \right)$ - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/(2\beta)) \left( \beta \sum_{i=1}^L OPT_{k+z}(P_i) + cost(C, \hat{w}_C, S^*) \right)$ - 因为 $\beta \geq 1$，所以： - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/2) \left( \sum_{i=1}^L OPT_{k+z}(P_i) + cost(C, \hat{w}_C, S^*) \right)$ - 利用三角不等式和 Fact 1 可以证明 $\sum_{i=1}^L OPT_{k+z}(P_i) \leq 4 \cdot OPT_{k,z}(P)$。又因为 $(C, w_C)$ 是 $P$ 关于 $k$ 和 $z$ 的 $\sigma$-近似核心集，所以 $cost(C, \hat{w}_C, S^*) \leq (1 + \sigma)OPT_{k,z}(P)$。最终可得： - $\sum_{q\in C} \hat{w}_C^q d(q_{S^*}, X)^2 \leq (\gamma^2/2)(5 + \sigma)OPT_{k,z}(P)$ - 综合以上结果，当 $\sigma = 4\gamma + 4\gamma^2 \leq 1/2$ 时，经过繁琐的计算可得： - $cost(P\setminus Z^*, X) \leq (1 + 27\gamma)OPT_{k,z}(P)$ ##### 完整算法流程 为了实现带离群点的 k-Means 算法，我们采用了一个 3 轮的 MapReduce 算法，具体步骤如下： 1. **提取加权核心集**： - 对于 $\gamma > 0$，首先运行 2 轮的 MRcoreset$(P, \rho k, \tau z, \gamma)$ 算法，在第一轮中设置 $k' = \rho k + \tau z$，从而提取出加权核心集 $(T, w_T)$。 2. **计算最终解**： - 在第三轮中，将核心集收集到一个单一的归约器中，运行 SeqWeightedkMeansOut$(T, w_T, k, z)$ 算法来计算最终的解 $S$。 ##### 算法定理与证明 - **定理 2**：对于 $0 < \gamma \leq \sqrt{3/8} - 1/2$ 且 $\rho, \tau \geq 1$，上述 3 轮 MapReduce 算法计算出的解 $S$ 最多包含 $\rho k$ 个中心，满足 $cost(P\setminus out_{\ta