模态逻辑融合可判定性与依赖对方法的优化

### 模态逻辑融合可判定性与依赖对方法的优化 #### 模态逻辑融合可判定性相关内容 1. **L0 系统与模型完备性** - L0 被称为最小 k - 标称模态系统，它仅包含通用模态和标称 N1, …, Nk，其唯一的公理模式是每个 k - 标称模态系统的基本公理模式。为了将定理 2.3 应用于模态系统的融合，需要更好地理解简单 L0 - 代数理论 T s L0 的模型完备性。 - 定义了准无原子的简单 L0 - 代数：一个简单 L0 - 代数 A 若其仅有的原子是 N1, …, Nk，则称其为准无原子的。存在许多一阶公式可公理化准无原子的 L0 - 代数，例如： \[ \forall y ( y \neq \perp \& y \neq N1 \& \cdots \& y \neq Nk \Rightarrow \exists x (\perp < x < y) ) \] - 定理表明，准无原子的简单 L0 - 代数理论 (T s L0)∗ 是简单 L0 - 代数理论 T s L0 的模型完备性。该定理的证明基于以下命题： - 每个简单 L0 - 代数都可以嵌入到一个准无原子的简单 L0 - 代数中。通过引入的工具，从一个简单 L0 - 代数开始，仔细迭代构造产生一个无限链，该链的归纳极限就是所需的准无原子简单 L0 - 代数。 - 给定一个有限 L0 - 代数 A 以及它的两个至多可数的简单准无原子扩展 B 和 C，存在一个固定 A 的从 B 到 C 的同构。这是引理 3.4 的结果，该引理可通过 Stone 对偶性轻松验证，并允许使用来回法逐步构造同构。 2. **模态系统的融合可判定性** - **引理 4.1**：如果模态系统 L 是可判定的，那么 T s L 中的子句字问题也是可判定的。证明过程如下：一个有限的 T s L - 文字集 { α1 = ⊤, …, αn = ⊤, β1 ≠ ⊤, …, βm ≠ ⊤} 是可满足的，当且仅当存在一个简单代数 A 使得某些条件成立，这等价于某个公式不是系统 L 的定理。 - **引理 4.2**：假设 L 是标称封闭的。设 A 是 T s L 的一个模型，且 a 是 A 中不同于 N1, …, Nk 的一个原子，那么可以将 A 嵌入到 T s L 的一个模型中，使得 a 不再是原子。证明时，通过构造一个新的代数 B，若能证明 B 的某个 2U - 封闭滤子 Ψ 不包含 ⊥，则可完成证明。 - **命题 4.3**：T s L 与 T s L0 兼容当且仅当 L 是标称封闭的。证明分两个方向：若 L 是标称封闭的，通过反复应用引理 4.2 可构造出所需的代数；反之，若 T s L 与 T s L0 兼容，通过假设和推理可得出矛盾。 - **定理 4.4**：如果 L1 和 L2 都是标称封闭且可判定的，那么它们的融合 L1 ∪ L2 也是可判定的。证明基于一般原理，即 L1 ∪ L2 ⊬ α 当且仅当存在一个满足 TL1 ∪ TL2 的简单代数 A 使得方程 α = ⊤ 不成立，结合相关定理和引理可解决 (TL1 ∪ TL2)s = T s L1 ∪ T s L2 中的字问题。 - **推论 4.5**：如果 L1, …, Ln 都是标称封闭且可判定的，那么它们的迭代融合 L1 ∪ … ∪ Ln 也是可判定的。 #### 依赖对方法相关内容 1. **引言** - 传统证明项重写系统 (TRS) 终止性的方法大多使用简化序，但存在许多重要的 TRS 不是简单终止的，即不能用简化序证明其终止性。因此，依赖对方法被提出，它允许将简化序应用于非简单终止的 TRS，从而显著增加了可机械证明终止性的系统类。 - 例如，以下 TRS 不是简单终止的： \[ \begin{align*} minus