通用博弈的提升反向搜索与战略论证中的腐败问题

### 通用博弈的提升反向搜索与战略论证中的腐败问题 #### 1. 通用博弈的提升反向搜索 在通用博弈中，我们旨在开发一种有效的方法来确定玩家的策略，以实现特定的游戏目标。这里介绍的提升反向搜索算法就是为此目的而设计的。 ##### 1.1 相关定义与引理 - **$C_{\infty}$ 算子定义**：$C_{\infty}(\varphi) = C_n(\varphi)$ 当且仅当 $C_n(\varphi) = C_{n - 1}(\varphi)$。 - **引理 1**：对于任何公式 $\varphi$，公式 $C_{\infty}(\varphi)$ 是无缠绕的。证明思路是，如果 $C_n(\varphi)$ 包含特定原子 $p$，则 $C_{n + 1}(\varphi)$ 会用 $\exists Pr(p)$ 替换 $p$，由于 $R$ 无循环，$C_n(\varphi) \neq C_{n + 1}(\varphi)$，所以若 $C_n(\varphi) = C_{\infty}(\varphi)$，则 $C_{\infty}(\varphi)$ 无此类原子，即为无缠绕的。 - **引理 2**：对于任何公式 $\varphi$、任何状态 $w$ 和任何动作 $a$，有 $V, R \models_{(w,a)} \exists C_{\infty}(\varphi)$ 当且仅当 $V, R \models_{(w,a)} \exists \varphi$。这可由相关定义直接推导得出。 设 $\eta_A$ 是玩家 $A$ 期望满足的缠绕状态公式，例如 $\eta_A = terminal \land goal(100, A)$，表示 $A$ 获胜的终端状态。我们定义 $\alpha_0 := C_{\infty}(\eta_A)$，它与 $\eta_A$ 描述相同性质，但 $\alpha_0$ 是无缠绕的。 ##### 1.2 N - 算子 为了定义其他公式 $\alpha_i$，我们引入 $N$ - 算子。 - **定义**：对于任何无缠绕状态公式 $\varphi$，公式 $N(\varphi)$ 通过将关系符号 “true” 替换为 “next” 得到，结果公式 $N(\varphi)$ 是缠绕且非状态的。例如，若 $\varphi = true(t_1) \lor true(t_2)$，则 $N(\varphi) = next(t_1) \lor next(t_2)$。 - **引理 3**：设 $\varphi$ 是无缠绕状态公式，则 $V, R \models_{(w,a)} \exists N(\varphi)$ 当且仅当 $V, R \models_{u(w,a)} \exists \varphi$。以 $\varphi = true(t_1) \land true(t_2)$ 为例，$(w, a)$ 满足 $N(\varphi) = next(t_1) \land next(t_2)$ 当且仅当 $(w, a)$ 满足 $next(t_1)$ 且 $(w, a)$ 满足 $next(t_2)$，根据定义，这等价于 $u(w, a)$ 满足 $true(t_1)$ 且 $u(w, a)$ 满足 $true(t_2)$，即 $u(w, a)$ 满足 $\varphi$。 以井字棋为例，若 $\varphi = true(cell(1, 1, X))$，则 $N(\varphi) = next(cell(1, 1, X))$。通过 $C_{\infty}$ - 算子可将其转换为无缠绕公式，井字棋的游戏规则如下： - $true(cell(1, 1, X)) \to next(cell(1, 1, X))$ - $does(mark(1, 1, X)) \to next(cell(1, 1, X))$ - $true(cell(1, 1, b)) \to legal(mark(1, 1, X))$ 由此可得 $C_{\infty}(N(\varphi)) = true(cell(1, 1, X)) \lor (does(mark(1, 1, X)) \land true(cell(1, 1, b)))$，即当前状态左上角单元格含 $X$ 或为空且玩家 $A$ 标记为 $X$ 时，下一回合 $\varphi$ 满足。 ##### 1.3 动作范式 由于 $N(\varphi)$ 是非状态的，其满足性依赖于活跃玩家的动作选择。为了便于确定玩家在状态 $w$ 下应选择的动作以满足 $N(\varphi)$，我们将公式转换为动作范式（ANF）。 - **定义**：公式 $\varphi$ 对玩家 $A$ 处于动作范式（ANF），若其形式为 $\varphi = \bigvee_{t \in S} X_{\varphi}^t \land does(t)$，其中 $S$ 是动作项集合，对于每个动作 $a \in A$，存在 $t \in S$ 可与 $\mu(a)$ 合一，且所有 $X_{\varphi}^t$ 是状态的。 - **引理 4**：对于任何非状态公式 $\varphi$，存在处于 ANF 的公式 $\varphi'$，使得 $V, R \models_{(w,a)} \exists \varphi$ 当且仅当 $V, R \models_{(w,a)} \exists \varphi'$。对于基础公式 $\varphi$，可通过将 $\varphi$ 中 $does(\mu(a))$ 替换为 $\top$，其他动作命题替换为 $\bot$ 生成 $X_{\varphi}^{\mu(a)}$。 - **引理 5**：若状态 $w$ 满足 $\varphi^+$（$\varphi$ 中所有动作命题替换为 $\top$ 后的公式），则存在动作 $a$ 使得 $(w, a)$ 满足 $\varphi$。 对于奇数正整数 $n$，定义 $\alpha_n = C_{\infty}(N(\alpha_{n - 1}) \land \neg terminal)^+$。 - **引理 6**：设 $n$ 为奇数正整数，状态 $w$ 满足 $\alpha_n$ 当且仅当 $w$ 非终端且存在玩家 $A$ 在状态 $w$ 下的合法动作 $a$，使得结果状态 $u(w, a)$ 满足 $\alpha_{n - 1}$。 对于偶数 $n$，定义 $\alpha_n$ 如下：先定义 $\alpha_n' = C_{\infty}(N(\alpha_{n - 1} \lor \alpha_{n - 2} \lor \cdots \alpha_0))$，然后 $\alpha_n = C_{\infty}(\neg terminal \land \neg \bigvee_{t \in S} \exists(legal(t) \land \neg X_{\alpha_n'}^t))$。 - **引理 7**：设 $n$ 为偶数，状态 $w$ 满足 $\alpha_n$ 当且仅当对于玩家 $B$ 在状态 $w$ 下的每个合法动作 $a$，存在整数 $m < n$ 使得 $u(w, a)$ 满足 $\alpha_m$。 - **引理 8**：若状态 $w$ 满足 $\alpha_n$ 且 $n > 0$，则 $w$ 是非终端状态。 - **定理 1**：若状态 $w$ 满足某个 $\alpha_n$，则存在玩家 $A$ 的策略，保证游戏处于状态 $w$ 时，最多 $n$ 步可到达满足 $\alpha_0$ 的状态。 - **定理 2**：若玩家 $A$ 有策略保证可到达满足 $\alpha_0$ 的状态 $w'$，则存在整数 $n$ 使得状态 $w$ 满足 $\alpha_n$。 以下是相关流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[定义\(\eta_A\)和\(\alpha_0\)]; B --> C[根据\(n\)奇偶性定义\(\alpha_n\)]; C --> D{判断\(n\)奇偶性}; D -- 奇数 --> E[计算\(\alpha_n = C_{\infty}(N(\alpha_{n - 1}) \land \neg terminal)^+\)]; D -- 偶数 --> F[计算\(\alpha_n = C_{\infty}(\neg terminal \land \neg \bigvee_{t \in S} \exists(legal(t) \land \neg X_{\alpha_n'}^t))\)]; E --> G[判断状态\(w\)是否满足\(\alpha_n\)]; F --> G; G -- 满足 --> H[存在策略到达\(\alpha_0\)状态]; G -- 不满足 --> I[继续计算或判断]; I --> C; ``` #### 2. 战略论证中的腐败问题 战略论证为代理之间的争论和谈判提供了简单模型，但代理可能存在腐败问题，如勾结和间谍活动。之前的工作针对基于可接受性的论证语义研究了腐败抵抗性，这里我们将研究扩展到理想、朴素和阶段语义。 - **朴素语义**：若玩家不腐败，游戏结果由初始状态决定，不支持战略论证，因此是抗腐败的。 - **理想语义**：对勾结和间谍活动都有抵抗性。 - **阶段语义**：对间谍活动有抵抗性，其对勾结的抵抗性取决于玩家的战略目标。 以下是不同语义抵抗性的表格总结： | 语义类型 | 对勾结的抵抗性 | 对间谍活动的抵抗性 | | ---- | ---- | ---- | | 朴素语义 | 是 | 是 | | 理想语义 | 是 | 是 | | 阶段语义 | 取决于战略目标 | 是 | 综上所述，通用博弈的提升反向搜索算法为玩家提供了确定策略的有效方法，而战略论证中的不同语义对腐败的抵抗性各有特点，这些研究结果有助于我们更好地设计和应用相关系统。 ### 通用博弈的提升反向搜索与战略论证中的腐败问题 #### 3. 通用博弈提升反向搜索算法的应用分析 通用博弈的提升反向搜索算法在实际应用中具有重要价值。以下我们详细分析其在不同场景下的应用及优势。 ##### 3.1 游戏策略制定 在各种回合制游戏中，该算法可以帮助玩家制定有效的策略。以井字棋为例，玩家可以根据当前状态 $w$，通过计算 $\alpha_n$ 来确定下一步的最佳行动。具体步骤如下： 1. **确定目标公式 $\eta_A$**：如 $\eta_A = terminal \land goal(100, A)$，表示玩家 $A$ 获胜的终端状态。 2. **计算 $\alpha_0$**：$\alpha_0 := C_{\infty}(\eta_A)$，将目标公式转换为无缠绕形式。 3. **根据 $n$ 的奇偶性计算 $\alpha_n$**： - 若 $n$ 为奇数，$\alpha_n = C_{\infty}(N(\alpha_{n - 1}) \land \neg terminal)^+$。 - 若 $n$ 为偶数，先计算 $\alpha_n' = C_{\infty}(N(\alpha_{n - 1} \lor \alpha_{n - 2} \lor \cdots \alpha_0))$，再计算 $\alpha_n = C_{\infty}(\neg terminal \land \neg \bigvee_{t \in S} \exists(legal(t) \land \neg X_{\alpha_n'}^t))$。 4. **判断状态 $w$ 是否满足 $\alpha_n$**：若满足，则存在策略保证在最多 $n$ 步内到达满足 $\alpha_0$ 的状态，玩家可以据此选择行动。 通过这种方式，玩家可以在游戏的每一步都有明确的目标和策略，提高获胜的概率。 ##### 3.2 与其他算法结合 该算法还可以与其他算法结合使用，例如蒙特卡罗树搜索（MCTS）。MCTS 是一种常用的游戏搜索算法，通过随机模拟来评估不同的行动。提升反向搜索算法可以为 MCTS 提供快速的目标评估，帮助 MCTS 更有针对性地进行搜索。具体结合方式如下： 1. **使用提升反向搜索算法计算 $\alpha_n$**：确定目标状态和到达目标状态的策略。 2. **将 $\alpha_n$ 作为 MCTS 的评估指标**：在 MCTS 的搜索过程中，优先选择能够使当前状态更接近满足 $\alpha_n$ 的行动。 3. **结合两种算法的优势**：提升反向搜索算法可以快速评估目标状态的可达性，MCTS 可以通过随机模拟探索更多的行动路径，从而提高搜索效率和准确性。 以下是提升反向搜索算法与 MCTS 结合的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[提升反向搜索计算\(\alpha_n\)]; B --> C[MCTS 初始化]; C --> D[MCTS 搜索过程]; D --> E{是否满足\(\alpha_n\)}; E -- 是 --> F[选择行动并执行]; E -- 否 --> G[继续 MCTS 搜索]; G --> D; F --> H[更新游戏状态]; H --> B; ``` #### 4. 战略论证中不同语义抵抗腐败的深入探讨 战略论证中不同语义对腐败的抵抗性是一个重要的研究方向。以下我们进一步探讨其背后的原理和实际意义。 ##### 4.1 朴素语义的抗腐败原理 朴素语义不支持战略论证，游戏结果由初始状态决定。这是因为在朴素语义下，论证的接受与否只取决于初始的论证结构，玩家无法通过策略性的行动来改变结果。因此，即使存在腐败行为，如勾结和间谍活动，也无法影响游戏的最终结果，从而实现了抗腐败。 ##### 4.2 理想语义的抵抗性分析 理想语义对勾结和间谍活动都有抵抗性。这是因为理想语义基于一种“理想”的论证接受标准，它要求论证集合既要满足一定的合理性，又要尽可能地包含更多的论证。在这种语义下，勾结和间谍活动无法改变论证的合理性和完整性，因此无法影响游戏的结果。 ##### 4.3 阶段语义的抵抗性特点 阶段语义对间谍活动有抵抗性，因为间谍活动获取的信息无法改变阶段语义下论证的接受情况。而其对勾结的抵抗性取决于玩家的战略目标。如果玩家的战略目标是追求某个特定的论证集合被接受，那么勾结可能会影响结果；但如果玩家的战略目标是追求论证的整体合理性和完整性，那么阶段语义可能对勾结也有一定的抵抗性。 以下是不同语义抵抗腐败的原理总结表格： | 语义类型 | 抵抗勾结原理 | 抵抗间谍活动原理 | | ---- | ---- | ---- | | 朴素语义 | 游戏结果由初始状态决定，无法通过勾结改变 | 游戏结果由初始状态决定，无法通过间谍活动改变 | | 理想语义 | 基于理想的论证接受标准，勾结无法改变论证的合理性和完整性 | 基于理想的论证接受标准，间谍活动无法改变论证的合理性和完整性 | | 阶段语义 | 取决于玩家战略目标，若追求整体合理性和完整性有一定抵抗性 | 间谍活动无法改变论证的接受情况 | #### 5. 总结与展望 通用博弈的提升反向搜索算法为回合制游戏中的策略制定提供了有效的方法，通过计算 $\alpha_n$ 可以帮助玩家确定目标状态和到达目标状态的策略。同时，该算法还可以与其他算法结合使用，提高搜索效率和准确性。 在战略论证中，不同语义对腐败的抵抗性各有特点。朴素语义不支持战略论证，实现了抗腐败；理想语义对勾结和间谍活动都有抵抗性；阶段语义对间谍活动有抵抗性，对勾结的抵抗性取决于玩家的战略目标。 未来的研究可以进一步探索提升反向搜索算法的优化方法，提高其计算效率和准确性。同时，也可以深入研究战略论证中不同语义的性质和应用，开发更有效的抗腐败机制，为代理之间的争论和谈判提供更可靠的保障。