可逆计算：从逻辑门构建到通用计算机架构

### 可逆计算：从逻辑门构建到通用计算机架构 在当今的计算领域，可逆计算作为一种新兴的计算模式，正逐渐展现出其独特的魅力和潜力。它不仅能够在计算过程中几乎不损失能量，还能让我们在得到计算结果的同时，保留原始的输入信息。本文将深入探讨可逆计算的相关知识，包括如何从可逆门构建新的逻辑门、可逆全加器的设计以及通用可逆计算机的架构。 #### 1. 从可逆门构建可逆逻辑门 CCN 是一种通用的可逆门，我们可以通过对其进行配置，使其实现其他传统逻辑门的功能。以下是几种常见逻辑门的构建方法： - **与门（AND）**：将 |C〉设置为 |0〉，并将 A 和 B 作为输入，输出 |C0〉即为 |A〉^ |B〉的结果。具体真值表如下： | |A〉 | |B〉 | |C〉 | |A0〉 | |B0〉 | |C0〉 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | |0〉 | |0〉 | |0〉 | |0〉 | |0〉 | |0〉 | | |0〉 | |1〉 | |0〉 | |0〉 | |1〉 | |0〉 | | |1〉 | |0〉 | |0〉 | |1〉 | |0〉 | |0〉 | | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | - **与非门（NAND）**：将 |C〉设置为 |1〉，并将 A 和 B 作为输入，输出 |C0〉即为与非门的结果。真值表如下： | |A〉 | |B〉 | |C〉 | |A0〉 | |B0〉 | |C0〉 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | |0〉 | |0〉 | |1〉 | |0〉 | |0〉 | |1〉 | | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | - **异或门（XOR）**：将 |A〉设置为 |1〉（或 |B〉设置为 |1〉），并将 B 和 C（或 A 和 C）作为输入，输出 |C0〉即为异或门的结果。真值表如下： | |A〉 | |B〉 | |C〉 | |A0〉 | |B0〉 | |C0〉 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | |1〉 | |0〉 | |0〉 | |1〉 | |0〉 | |0〉 | | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | #### 2. 可逆加法器的设计 在前面我们已经了解了半加器，它能够实现单比特的加法运算。现在我们的目标是将其扩展为全加器，并且设计出可逆的全加器，这样我们就可以同时知道运算结果和对应的输入。 - **传统全加器的问题**：传统的单比特全加器需要三个输入（A、B 和进位 C），并产生两个输出（和 S 以及新的进位 K）。由于无法从结果 S 和新的进位 K 重构出三个输入，所以它不是可逆的。 - **可逆全加器的设计步骤**： 1. 使用 N、CN 和 CCN 门，或者仅使用 CCN 门（因为它是通用可逆门）。 2. 构建 AND、OR 和 XOR 运算符，用于设计全加器。 3. 在输出中增加两条额外的线，以确保系统能够正常工作。 4. 组织整个系统，使四个输出线分别为运算结果 S 和 K 以及原始输入 A 和 B。 下面是一个可逆全加器的逻辑结构表示：CCND0=0,A0B0 { } CNB1,A1 { } CCND2,B2C2 { } CNC3,B3 { } CNB4,A4 { }，其中初始输入状态为 |A0; B0; C0; D0〉 = |0; 0; 0; 0〉。 #### 3. 用台球进行可逆计算 我们还可以从可逆的角度重新审视台球计算。通过对台球系统进行一些修改，使其能够实现可逆操作。例如，使用传统的（可逆）FO 操作，通过设置 |A〉 = |1〉，可以实现一个简单的可逆操作。 - **FO 操作的实现**：在台球系统中，当 |A〉 = |1〉时，A 线作为系统输入的控制线。如果 |B〉 = |1〉，则 |W〉 = |1〉且 |Z〉 = |1〉；如果 |B〉 = |0〉，则 |W〉 = |0〉且 |Z〉 = |0〉。 - **构建其他可逆门**：通过对台球系统的进一步配置，还可以实现可逆的 CN 门。此外，还需要一些额外的组件，如碰撞门和重定向门，来构建更复杂的可逆门，包括 CCN 和 Fredkin 门。 以下是台球系统中一些组件的功能： - **碰撞门**：当两个移动的球与两个静止的球碰撞时，有两个输入和四个输出，结果相当于一个双 FO 操作。 - **重定向门**：能够改变球的运动方向，确保系统的可逆性。 #### 4. 可逆性的简单分析 从可逆计算的角度来看，我们需要确保设备的输入和输出线数量相同，才能实现可逆操作。以下是一些常见操作的输入输出情况： - N 操作：接受一个输入并返回一个输出。 - CN 操作：接受两个输入并返回两个输出。 - CCN 操作：接受三个输入并返回三个输出。 - Fredkin 门：接受三个输入并返回三个输出。 - FO 操作：接受一个输入并返回两个相同的输出。 这些操作都是可逆的，并且可以看出，为了实现可逆计算，输入和输出的不同线的数量必须相同。 #### 5. 基本可逆逻辑门架构 在可逆计算中，我们可以设计出各种传统逻辑门的可逆版本。以下是一些常见逻辑门的可逆架构设计： - **可逆与非门（Reversible NAND）**： 1. 使用 CCN 门，其中 A1 和 B1 作为控制线。 2. 始终将 |C1〉设置为 |1〉。 3. 可逆与非门的结果在输出线 C2 上。 其真值表如下： | |A1〉 | |B1〉 | |C1〉 | |A2〉 | |B2〉 | |C2〉 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | |0〉 | |0〉 | |1〉 | |0〉 | |0〉 | |1〉 | | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | | |1〉 | |0〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | |1〉 | | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |1〉 | |0〉 | - **可逆简单蕴含门（Reversible Simple Implication）**： 1. 使用 CCN 门，A1 和 B1 作为控制线。 2. 始终将 |C1〉设置为 |1〉。 3. 获取中间输出 A2、B2 和 C2。 4. 使用 A2 作为控制线，C2 作为受控线应用 CN 门。 5. 蕴含结果在输出线 C3 上。 真值表如下： | |A1〉 | |B1〉 | |C1〉