音乐与机器人运动规划的前沿探索

# 音乐与机器人运动规划的前沿探索 ## 1. 实时人机合奏系统中的第二声部表现力 ### 1.1 系统概述 实时人机合奏系统是一种与时间相关的协作系统，计算机控制的钢琴演奏第二声部（secondo），与人音乐家演奏的第一声部（primo）相配合。在实际协作演奏前，系统需要学习人音乐家演奏第一声部的表达倾向，并计算和准备第二声部的表现力演奏数据。在实际演奏时，系统会根据人音乐家的实际输入对该数据进行修正和调整。 ### 1.2 系统组成 该合奏系统由排练和演奏两个程序组成，其目标是通过演奏程序驱动 MIDI 声学钢琴演奏第二声部，与人钢琴家或其他 MIDI 乐器演奏者演奏的第一声部相配合。两个 MIDI 乐器通过计算机连接，MIDI 是电子乐器和计算机之间通信、控制和同步的标准协议。MIDI 声学钢琴是一种可以用 MIDI 代码演奏的声学三角钢琴，但从 MIDI 代码输入到琴键移动并发声存在 0.5 秒的延迟，因此程序必须提前 0.5 秒输出每个 MIDI 代码。 排练程序在协作演奏前记录人音乐家演奏的第一声部独奏，计算排练数据，包括所有参考音符的演奏时间和第二声部的演奏计划。在协作演奏期间，程序会根据乐谱数据、排练数据和计划，实时修改和更新第二声部的演奏计划。 ### 1.3 第二声部表达生成问题 以肖邦《E 小调前奏曲，作品 28 号，第 4 首》为例，系统需要在实际协作演奏前根据人音乐家演奏的第一声部生成第二声部的表现力演奏数据。然而，第一声部的数据往往没有足够的线索来计算第二声部的表现力。 通过对比著名钢琴家玛莎·阿格里奇的实际演奏数据和排练程序生成的数据可以发现，排练程序生成的第二声部演奏数据在相邻的第一声部音符之间以均匀的节奏进行，而实际的演奏则富有表现力。这是排练程序面临的一个重要问题。 ### 1.4 音乐结构和结构功能 为了解决这个问题，可以引入基于音乐结构的结构功能方法。从乐句分析来看，每个乐谱都有其独特的音乐结构，通常可以分为八小节的句子、四小节的乐句和两小节的乐段。 在每个乐段或乐句中，至少存在 6 种反映演奏者和听众情感的结构功能： 1. **起始（Inceptive）**：结构的起始点。 2. **弱起（Anacrusis）**：音乐在进入主音之前逐渐紧张的范围。 3. **高潮前（Tiara）**：主音之前的高潮范围。 4. **主音（Initiative）**：最紧张的音符。 5. **渐弱（Desinence）**：主音之后紧张感逐渐减弱的范围。 6. **结束（Conclusive）**：结构的结束点。 根据对音乐演奏的分析，存在一些关于节奏的演奏规则： 1. 起始和结束音符的演奏时间比其他音符长。 2. 在弱起部分，演奏开始较慢，逐渐加快到主音。 3. 主音的演奏时间比其他音符长，高潮前的音符也可能如此。 4. 在渐弱部分，演奏逐渐减慢到结束。 需要注意的是，音乐表达取决于乐谱和演奏者，这些规则有很多例外，可能不适用于每个具体的乐谱和演奏。 通过将结构功能与抛物线近似曲线应用于每个结构（乐段或乐句），可以得到《E 小调前奏曲》前 12 小节第二声部的“更好”表达。但这种曲线的生成需要实际演奏数据，因为规则只表达了表达的“质量”，而需要实际演奏的“真实”值来获得“数量”。 ### 1.5 实验结果 一位专业音乐家使用上述三种第二声部演奏数据（玛莎·阿格里奇的演奏、排练程序生成的和基于结构功能的）与第一声部进行了试听和演奏实验。实验后，钢琴家认为系统应该准备更具艺术性的表达，基于结构功能的表达虽然相对适合合奏，但显得非常生硬和不自然。特别是在系统生成表达时，应该参考和近似阿格里奇在第二小节的实际演奏。而排练程序生成的表达则非常不自然，不值得考虑。 ### 1.6 音调张力结构 音乐信息学领域中最著名的当代音乐理论是 GTTM（调性音乐生成理论），它引入了层次化的音乐结构。TPS（调性音高空间）作为 GTTM 的后续研究，引入了与这些结构相关的音调张力和吸引力的概念。它们从乐谱的角度描述了（想象中的）有经验的听众的音乐情感。 尝试使用 TPS 引入的张力值来制作表达，并试图从乐谱的张力值中引入一些通用的表达规则，以便与实际的表达数据进行比较和分析。 ### 1.7 相关工作 自动合奏系统有很多相关研究，大多数使用 HMM、贝叶斯网络模型或其他统计方法，或使用庞大的基于案例的数据库来预测人音乐家未来的节奏和速度。而本文介绍的系统使用排练和演奏规则来学习表达模式，实时演奏程序只计算人演奏的第一声部的速度，并修改第二声部的演奏速度。 以下是音乐结构和结构功能的关系表格： | 音乐结构 | 结构功能 | | --- | --- | | 乐段/乐句 | 起始、弱起、高潮前、主音、渐弱、结束 | mermaid 格式流程图展示系统工作流程： ```mermaid graph LR A[人音乐家演奏第一声部独奏] --> B[排练程序记录数据] B --> C[计算排练数据和第二声部计划] C --> D[协作演奏] D --> E[根据第一声部实际输入修改第二声部计划] E --> F[演奏第二声部] ``` ## 2. 机器人操作器自运动规划的不同层次方案等价性 ### 2.1 自运动规划概述 冗余机器人操作器的自运动是一种特殊的运动规划和控制方式，在末端执行器静止的情况下，操作器可以从一个关节配置（状态）移动到另一个关节配置。近年来的研究表明，自运动可以用于实现不同的任务，如避免关节极限、奇点和障碍物，因此成为机器人领域近几十年来的一个有趣话题。 ### 2.2 现有方案问题 目前，几乎所有现有的自运动规划（SMP）方案都处于关节速度级别。这些速度级别的 SMP 方案缺乏加速度信息，因此不适用于由关节加速度或关节扭矩控制的机器人操作器。为了解决这个实际问题，本文提出了一种新的加速度级 SMP 方案。 ### 2.3 速度级和加速度级 SMP 方案 对于结构和参数已知的冗余机器人操作器，有一些常用的基本公式：$f(θ) = r$，$J(θ) \dot{θ} = \dot{r}$ 和 $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r}_a$，其中 $\ddot{r}_a = \ddot{r}-\dot{J}(θ) \dot{θ}$。这里，$θ \in R^n$，$\dot{θ} \in R^n$ 和 $\ddot{θ} \in R^n$ 分别表示关节角度、关节速度和关节加速度的向量；$r \in R^m$，$\dot{r} \in R^m$ 和 $\ddot{r} \in R^m$ 分别表示末端执行器的位姿（位置和/或方向）、速度和加速度的向量；$f(·)$ 是从 $R^n$ 到 $R^m$ 的可微非线性映射，$J(θ) = \partial f(θ)/\partialθ \in R^{m×n}$ 是雅可比矩阵，$\dot{J}(θ) \in R^{m×n}$ 是 $J(θ)$ 的时间导数。 #### 速度级 SMP 方案（Scheme I） 一个具有位置误差反馈的速度级 SMP 方案可以表述为： - 最小化：$(\dot{θ} + c)^T(\dot{θ} + c)/2$ - 约束条件： - $J(θ) \dot{θ} = \dot{r} + k_1(r - f(θ))$ - $\dot{r} = 0$ 其中，$c = μ_1(θ - θ_d)$，$μ_1$ 是一个正的设计参数，用于反映当前关节状态 $θ$ 和期望关节状态 $θ_d$ 之间的位移大小。方程 $J(θ) \dot{θ} = \dot{r} + k_1(r - f(θ))$ 是对 $J(θ) \dot{θ} = \dot{r}$ 的改进，考虑了建模和计算的舍入误差，引入了笛卡尔位置误差 $(r - f(θ))$ 的反馈，$k_1 > 0$ 是反馈增益参数，用于缩放操作器对末端执行器笛卡尔位置误差的响应幅度。 #### 加速度级 SMP 方案（Scheme II） 一个具有反馈的加速度级 SMP 方案可以表述为： - 最小化：$(\ddot{θ} + q)^T(\ddot{θ} + q)/2$ - 约束条件： - $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r}_a + k_2(\dot{r} - J(θ) \dot{θ}) + k_3(r - f(θ))$ - $\dot{r} = 0$，$\ddot{r} = 0$ 其中，$q = μ_2 \dot{θ} + μ_3(θ - θ_d)$，$μ_2$ 和 $μ_3$ 是正的设计参数。方程 $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r}_a + k_2(\dot{r} - J(θ) \dot{θ}) + k_3(r - f(θ))$ 是对 $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r}_a$ 的改进，引入了笛卡尔速度误差反馈 $(\dot{r} - J(θ) \dot{θ})$ 和笛卡尔位置误差反馈 $(r - f(θ))$，$k_2 > 0$ 和 $k_3 > 0$ 是反馈增益参数。 ### 2.4 不同层次方案的等价性 通过研究发现，当相关参数满足一定条件时，广义速度级 SMP 方案和提出的加速度级 SMP 方案之间存在等价关系。具体来说，速度级 SMP 方案（1） - （3）等价于加速度级 SMP 方案（4） - （6），条件如下： 1. 存在一个足够大的参数 $μ_4 > 0$，使得 $μ_2 = μ_1 + μ_4$ 且 $μ_3 = μ_1μ_4$。 2. 存在一个参数 $k_4 > 0$，使得 $k_2 = k_1 + k_4$ 且 $k_3 = k_1k_4$。 证明过程分为两个步骤： 1. **性能指标的等价性**：速度级 SMP 方案的性能指标可以写成 $(\dot{θ} + c)^T(\dot{θ} + c)/2 = \|\dot{θ} + μ_1(θ - θ_d)\|_2^2/2$。为了最小化这个指标，定义一个向量值的不定光滑误差函数 $e = \dot{θ} + μ_1(θ - θ_d)$。通过应用 Zhang 等人的公式 $\dot{e} = -μ_4e$，可以得到 $\ddot{θ} + (μ_1 + μ_4) \dot{θ} + μ_1μ_4(θ - θ_d) = 0$。定义 $μ_2 = μ_1 + μ_4$ 和 $μ_3 = μ_1μ_4$，则有 $\ddot{θ} + μ_2 \dot{θ} + μ_3(θ - θ_d) = 0$。考虑到机器人末端执行器的路径要求和关节物理限制，最小化性能指标 $\|\ddot{θ} + μ_2 \dot{θ} + μ_3(θ - θ_d)\|_2^2/2$ 比直接强制 $\ddot{θ} + μ_2 \dot{θ} + μ_3(θ - θ_d)$ 为零更符合实际情况。当 $μ_4$ 足够大时，速度级和加速度级的性能指标会迅速相等，从而保证了它们在实际应用中的等价性。 2. **等式约束的等价性**：根据速度级的等式约束 $J(θ) \dot{θ} = \dot{r} + k_1(r - f(θ))$，定义一个向量值的不定光滑误差函数 $ε = \dot{r} + k_1(r - f(θ)) - J(θ) \dot{θ}$。应用 Zhang 等人的设计公式 $\dot{ε} = -k_4ε$，经过一系列推导可以得到 $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r} - \dot{J}(θ) \dot{θ} + (k_1 + k_4)(\dot{r} - J(θ) \dot{θ}) + k_1k_4(r - f(θ))$。定义 $k_2 = k_1 + k_4$ 和 $k_3 = k_1k_4$，则等式变为 $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r} - \dot{J}(θ) \dot{θ} + k_2(\dot{r} - J(θ) \dot{θ}) + k_3(r - f(θ))$，与加速度级 SMP 方案的等式约束相同。 ### 2.5 验证与实验 为了验证提出的加速度级 SMP 方案和不同层次 SMP 方案的等价性，将两个方案统一为一个二次规划（QP）问题，可以使用 MATLAB 例程“QUADPROG”来求解。通过对一个五连杆平面机器人手臂进行自运动的计算机模拟，证实了加速度级 SMP 方案的有效性以及不同层次 SMP 方案的等价性。 以下是速度级和加速度级 SMP 方案的对比表格： | 方案 | 性能指标 | 约束条件 | | --- | --- | --- | | 速度级 SMP 方案 | 最小化 $(\dot{θ} + c)^T(\dot{θ} + c)/2$ | $J(θ) \dot{θ} = \dot{r} + k_1(r - f(θ))$，$\dot{r} = 0$ | | 加速度级 SMP 方案 | 最小化 $(\ddot{θ} + q)^T(\ddot{θ} + q)/2$ | $J(θ)\ddot{θ} = \ddot{r}_a + k_2(\dot{r} - J(θ) \dot{θ}) + k_3(r - f(θ))$，$\dot{r} = 0$，$\ddot{r} = 0$ | mermaid 格式流程图展示方案验证流程： ```mermaid graph LR A[提出速度级和加速度级 SMP 方案] --> B[证明方案等价性] B --> C[统一为二次规划问题] C --> D[使用 MATLAB 求解] D --> E[计算机模拟验证] ``` ### 2.6 不同层次方案等价性的意义 这种不同层次 SMP 方案的等价性具有重要的实际意义。对于机器人控制领域来说，它为不同控制需求提供了更多的选择。例如，在只需要考虑速度控制的场景中，可以使用速度级 SMP 方案，这种方案计算相对简单，能快速响应；而在对加速度控制有严格要求的场景下，加速度级 SMP 方案则能更好地满足需求。同时，等价性的证明意味着在某些条件下，两种方案可以相互转换，增加了方案的灵活性和可替代性。 ### 2.7 实际应用案例分析 假设有一个工业机器人在生产线上进行物料搬运任务。在搬运过程中，需要机器人的末端执行器保持特定的位置和姿态，同时调整关节配置以避免与周围的设备发生碰撞。此时，可以使用自运动规划来实现这一目标。 如果机器人的控制系统主要基于速度控制，那么可以采用速度级 SMP 方案。通过设置合适的参数 $μ_1$ 和 $k_1$，可以使机器人根据当前关节状态和期望关节状态之间的位移，以及末端执行器的位置误差，快速调整关节速度，实现自运动。 而如果机器人的控制系统对加速度有严格的要求，例如在高速运动或需要精确控制力度的情况下，加速度级 SMP 方案则更为合适。通过合理选择参数 $μ_2$、$μ_3$、$k_2$ 和 $k_3$，可以使机器人在调整关节配置时，更好地控制加速度，减少冲击和振动，提高运动的平稳性和精度。 ### 2.8 未来发展趋势 随着机器人技术的不断发展，自运动规划在机器人领域的应用将越来越广泛。未来，可能会有更多的研究集中在以下几个方面： 1. **多目标优化**：目前的 SMP 方案主要关注于关节状态的调整和末端执行器的位置保持。未来的研究可能会考虑更多的目标，如能量消耗最小化、运动时间最短等，以实现更高效的机器人运动规划。 2. **实时性优化**：在实际应用中，机器人需要实时响应环境的变化。因此，提高 SMP 方案的实时性将是未来的一个重要研究方向。可以通过优化算法复杂度、采用并行计算等方法来实现。 3. **与其他技术的融合**：自运动规划可以与机器人视觉、传感器技术等相结合，实现更加智能的机器人运动控制。例如，通过视觉传感器获取环境信息，使机器人能够更好地避开障碍物，实现更灵活的自运动。 以下是未来发展趋势的表格总结： | 发展趋势 | 具体内容 | | --- | --- | | 多目标优化 | 考虑能量消耗最小化、运动时间最短等更多目标 | | 实时性优化 | 优化算法复杂度、采用并行计算等提高实时响应能力 | | 与其他技术融合 | 与机器人视觉、传感器技术等结合实现更智能控制 | mermaid 格式流程图展示未来发展趋势的关联： ```mermaid graph LR A[自运动规划] --> B[多目标优化] A --> C[实时性优化] A --> D[与其他技术融合] B --> E[更高效运动规划] C --> E D --> E ``` ## 3. 音乐与机器人运动规划的联系与启示 ### 3.1 两者的相似性 音乐演奏和机器人运动规划看似是两个不同的领域，但实际上存在很多相似之处。在音乐演奏中，演奏者需要根据乐谱的要求，合理安排每个音符的时间、力度和节奏，以实现富有表现力的演奏。同样，在机器人运动规划中，机器人需要根据任务的要求，合理调整关节的角度、速度和加速度，以实现精确的运动。 例如，在音乐结构和结构功能中，不同的结构部分（如起始、主音、结束等）具有不同的情感表达和节奏要求。在机器人运动规划中，不同的运动阶段（如启动、加速、匀速、减速、停止等）也需要不同的控制策略。两者都需要根据整体的目标，对局部进行精细的调整。 ### 3.2 相互借鉴的可能性 音乐领域的一些方法和理念可以为机器人运动规划提供启示。例如，音乐中的节奏变化可以应用到机器人的运动速度调整中，使机器人的运动更加自然和流畅。通过模仿音乐中的节奏模式，可以设计出更有韵律的机器人运动轨迹。 另一方面，机器人运动规划中的优化算法和控制理论也可以应用到音乐演奏中。例如，可以使用优化算法来调整音乐演奏的力度和节奏，使演奏更加符合听众的喜好。同时，机器人运动规划中的实时反馈控制思想也可以应用到音乐演奏的实时调整中，提高演奏的质量。 ### 3.3 跨领域应用的展望 未来，音乐与机器人运动规划的跨领域应用可能会有更多的发展。例如，可以设计一种具有音乐感知能力的机器人，它能够根据音乐的节奏和情感变化，自动调整自己的运动姿态和动作，实现与音乐的同步表演。这种跨领域的应用不仅可以为艺术表演带来新的形式，还可以推动机器人技术和音乐技术的共同发展。 以下是音乐与机器人运动规划相似性的表格对比： | 对比项 | 音乐演奏 | 机器人运动规划 | | --- | --- | --- | | 目标 | 实现富有表现力的演奏 | 实现精确的运动 | | 调整对象 | 音符的时间、力度和节奏 | 关节的角度、速度和加速度 | | 结构特点 | 不同结构部分有不同要求 | 不同运动阶段有不同策略 | mermaid 格式流程图展示跨领域应用的展望： ```mermaid graph LR A[音乐演奏] --> C[跨领域应用] B[机器人运动规划] --> C C --> D[音乐感知机器人表演] C --> E[音乐演奏优化] ``` 综上所述，音乐领域的实时人机合奏系统和机器人领域的自运动规划都有各自的研究重点和发展方向。同时，两者之间存在的相似性和相互借鉴的可能性，为跨领域的研究和应用提供了广阔的空间。未来，随着技术的不断进步，相信这两个领域将取得更多的突破和创新。