模型拟合：优化算法详解

# 模型拟合：优化算法详解 ## 1. 引言 在机器学习中，我们常常需要找到合适的模型参数，使得模型的预测结果与真实数据尽可能匹配。这一过程被称为模型拟合，通常通过最小化损失函数来实现。损失函数是一个衡量模型预测值与真实值之间差异的单一数值。接下来，我们将详细介绍几种常用的优化算法，帮助我们找到使损失函数最小化的参数。 ## 2. 梯度下降法 梯度下降法是一种迭代优化算法，用于寻找函数的局部最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，直到达到局部最小值。 ### 2.1 算法步骤 梯度下降法的迭代过程包含以下两个步骤： 1. **计算梯度**：计算损失函数关于参数的导数（梯度）： \[ \frac{\partial L}{\partial \phi} = \begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial \phi_0} \\ \frac{\partial L}{\partial \phi_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial L}{\partial \phi_N} \end{bmatrix} \] 2. **更新参数**：根据以下规则更新参数： \[ \phi \leftarrow \phi - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial \phi} \] 其中，$\alpha$ 是一个正的标量，称为学习率，它决定了每次更新的步长。 ### 2.2 学习率选择 学习率 $\alpha$ 可以是固定值，也可以通过线搜索来确定。线搜索是指尝试不同的 $\alpha$ 值，选择使损失函数下降最多的那个值。 ### 2.3 终止条件 在损失函数的最小值处，函数表面是平坦的，梯度为零，参数将停止更新。在实际应用中，我们通常监测梯度的大小，当梯度变得足够小时，终止算法。 ### 2.4 线性回归示例 以一维线性回归模型为例，模型 $f[x, \phi]$ 将标量输入 $x$ 映射到标量输出 $y$，参数 $\phi = [\phi_0, \phi_1]^T$ 分别表示截距和斜率： \[ y = f[x, \phi] = \phi_0 + \phi_1 x \] 给定包含 $I$ 个输入输出对的数据集 $\{x_i, y_i\}$，我们选择最小二乘损失函数： \[ L[\phi] = \sum_{i=1}^{I} \ell_i = \sum_{i=1}^{I} (f[x_i, \phi] - y_i)^2 = \sum_{i=1}^{I} (\phi_0 + \phi_1 x_i - y_i)^2 \] 损失函数关于参数的导数可以分解为各个样本贡献的导数之和： \[ \frac{\partial L}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial \phi} \sum_{i=1}^{I} \ell_i = \sum_{i=1}^{I} \frac{\partial \ell_i}{\partial \phi} \] 其中， \[ \frac{\partial \ell_i}{\partial \phi} = \begin{bmatrix} \frac{\partial \ell_i}{\partial \phi_0} \\ \frac{\partial \ell_i}{\partial \phi_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(\phi_0 + \phi_1 x_i - y_i) \\ 2x_i(\phi_0 + \phi_1 x_i - y_i) \end{bmatrix} \] 通过迭代计算导数并更新参数，我们可以逐步找到使损失函数最小化的参数。 ### 2.5 Gabor 模型示例 Gabor 模型是一个非线性模型，用于将标量输入 $x$ 映射到标量输出 $y$： \[ f[x, \phi] = \sin[\phi_0 + 0.06 \cdot \phi_1 x] \cdot \exp\left(-\frac{(\phi_0 + 0.06 \cdot \phi_1 x)^2}{32.0}\right) \] 参数 $\phi = [\phi_0, \phi_1]^T$ 中，$\phi_0$ 决定函数的中心位置，$\phi_1$ 控制函数在 $x$ 轴上的伸缩。给定训练集 $\{x_i, y_i\}$，我们同样选择最小二乘损失函数： \[ L[\phi] = \sum_{i=1}^{I} (f[x_i, \phi] - y_i)^2 \] 目标是找到使损失函数最小化的参数 $\hat{\phi}$。 ### 2.6 局部最小值和鞍点 Gabor 模型的损失函数通常是非凸的，存在多个局部最小值和鞍点。局部最小值处梯度为零，但不是全局最小值；鞍点处梯度也为零，但函数在某些方向上增加，在其他方向上减小。使用梯度下降法时，从随机位置开始，不能保证最终能到达全局最小值，可能会陷入局部最小值或鞍点。 以下是梯度下降法的流程： ```mermaid graph TD; A[初始化参数 $\phi$] --> B[计算梯度 $\frac{\partial L}{\partial \phi}$]; B --> C[更新参数 $\phi \leftarrow \phi - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial \phi}$]; C --> D{梯度是否足够小}; D -- 是 --> E[终止算法]; D -- 否 --> B; ``` ## 3. 随机梯度下降法 梯度下降法在处理高维损失函数时，找到全局最优解是具有挑战性的。随机梯度下降法（SGD）通过在每次迭代中引入随机噪声，试图解决这个问题。 ### 3.1 算法原理 SGD 在每次迭代时，随机选择一个训练数据的子集（称为小批量或批次），仅根据这些样本计算梯度并更新参数。更新规则如下： \[ \phi_{t+1} \leftarrow \phi_t - \alpha \cdot \sum_{i \in B_t} \frac{\partial \ell_i[\phi_t]}{\partial \phi} \] 其中，$B_t$ 是当前批次中输入输出对的索引集合，$\ell_i$ 是第 $i$ 对样本的损失。 ### 3.2 批次和轮次 批次通常是从数据集中无放回地抽取的。算法遍历整个训练数据集，当使用完所有数据后，重新开始抽样。一次完整的遍历称为一个轮次（epoch）。批次大小可以从单个样本到整个数据集不等，当批次大小等于整个数据集时，SGD 退化为普通的梯度下降法。 ### 3.3 算法特性 SGD 具有以下优点： 1. **局部优化**：虽然引入了噪声，但每次迭代仍能改善对部分数据的拟合。 2. **数据利用均衡**：所有训练样本都有平等的贡献。 3. **计算效率高**：只需计算部分样本的梯度，减少了计算量。 4. **逃离局部最小值**：有机会跳出局部最小值，找到更好的解。 5. **减少鞍点影响**：降低了陷入鞍点的可能性。 6. **泛化能力强**：在实践中，SGD 找到的参数能使神经网络对新数据有较好的泛化能力。 SGD 通常不保证在传统意义上收敛，但当接近全局最小值时，无论选择哪个批次，梯度都会变小，参数更新也会趋于稳定。在实际应用中，常采用学习率调度策略，即开始时使用较大的学习率，随着训练的进行逐渐减小学习率。 以下是随机梯度下降法的流程： ```mermaid graph TD; A[初始化参数 $\phi$] --> B[选择一个批次 $B_t$]; B --> C[计算批次梯度 $\sum_{i \in B_t} \frac{\partial \ell_i[\phi_t]}{\partial \phi}$]; C --> D[更新参数 $\phi_{t+1} \leftarrow \phi_t - \alpha \cdot \sum_{i \in B_t} \frac{\partial \ell_i[\phi_t]}{\partial \phi}$]; D --> E{是否完成一个轮次}; E -- 是 --> F{是否达到最大轮次}; F -- 是 --> G[终止算法]; F -- 否 --> B; E -- 否 --> B; ``` ## 4. 动量法 动量法是对随机梯度下降法的一种改进，通过引入动量项，使参数更新更加平滑，减少震荡。 ### 4.1 算法公式 动量法的更新规则如下： \[ m_{t+1} \leftarrow \beta \cdot m_t + (1 - \beta) \sum_{i \in B_t} \frac{\partial \ell_i[\phi_t]}{\partial \phi} \] \[ \phi_{t+1} \leftarrow \phi_t - \alpha \cdot m_{t+1} \] 其中，$m_t$ 是动量，$\beta \in [0, 1)$ 控制梯度的平滑程度，$\alpha$ 是学习率。 ##