微积分中的无穷级数与微分方程

# 微积分中的无穷级数与微分方程 ## 一、无穷级数基础 ### 1.1 多项式函数与泰勒级数 在数学中，我们常常会遇到难以求解或处理的复杂函数，此时近似方法就显得尤为重要。多项式函数是一类易于求解、求导和积分的函数，例如 \(y = x^2\)。我们可以使用泰勒级数用简单的多项式来近似复杂函数。泰勒级数的公式可以让我们在特定点以一定精度近似任何可导函数。 ### 1.2 级数表示 数学家使用特殊的符号来表示按照一定模式相加的一系列数字。例如，\(\sum\) 这个看起来像大写 E 的符号是希腊字母 sigma，表示求和。下面是一个简单的例子，计算从 1 到 10 的整数之和： ```python s = sum([i for i in range(1, 11)]) ``` 如果要计算从 1 到 \(n\) 的整数平方和，可以这样写： ```python s = sum([i**2 for i in range(1, n + 1)]) ``` ### 1.3 反正切级数 反正切级数是一个古老且有用的级数，用于计算给定正切值对应的角度（以弧度为单位）。其公式如下： ```python def arctan(x, n): """Returns the arctangent of x using a series of n terms.""" return sum([((-1)**(i - 1) * (x**(2 * i - 1))) / (2 * i - 1) for i in range(1, n + 1)]) print(arctan(1 / 1.732, 10)) ``` 运行上述代码，经过 10 项计算后，得到的结果非常接近实际角度值。 ### 1.4 级数收敛 数学家曾尝试简化反正切级数来计算 \(\pi\) 的值。他们发现将反正切级数中的 \(x\) 替换为 1 可以用于近似 \(\pi\)，代码如下： ```python for n in range(1, 10): print(4 * sum([((-1)**(i - 1)) / (2 * i - 1) for i in range(1, n + 1)])) ``` 然而，这个级数收敛到 \(\pi/4\) 的速度非常慢，经过 100 万项计算后，也只能得到 5 位正确的小数。为了更准确地近似 \(\pi\)，数学家们一直在寻找更好的级数。 ### 1.5 不同级数近似 \(\pi\) 的比较 - **约翰·马青级数**：使用改进的反正切级数可以更准确地计算 \(\pi\) 的值。以下是计算 10 位正确小数的代码： ```python def arctan(x, n): return sum([((-1)**(i - 1) * (x**(2 * i - 1))) / (2 * i - 1) for i in range(1, n + 1)]) print(4 * (4 * arctan(1 / 5, 10) - arctan(1 / 239, 10))) ``` - **欧拉表达式**：欧拉提出的表达式也可用于近似 \(\pi\)，代码如下： ```python from math import sqrt for n in [100, 1000, 1000000]: print(sqrt(6 * sum([1 / (i**2) for i in range(1, n + 1)]))) ``` 经过测试，该表达式收敛速度也不快，100 万项后仍只有 5 位正确小数。 - **拉马努金公式**：印度数学家拉马努金提出的公式可以非常准确地近似 \(\pi\)，代码如下： ```python from math import sqrt, factorial one_over_pi = 2 * sqrt(2) / 9801 * sum([(factorial(4 * k) * (1103 + 26390 * k)) / (((factorial(k))**4) * (396**(4 * k))) for k in range(10)]) print(1 / one_over_pi) ``` 经过 10 项计算，结果就非常准确。 ### 1.6 收敛区间 级数收敛的取值范围称为收敛区间。我们可以使用 Python 来确定收敛区间，具体步骤如下： 1. 定义级数求和函数，例如： ```python def mystery_sum(x): return sum([(((-1)**n) * n) / (4 * n) * (x + 3)**n for n in range(1, 1000000)]) ``` 2. 遍历一些整数，检查级数是否收敛： ```python for x in range(-10, 11): print(x, ```