考虑认知不确定性的克里金插值方法

### 考虑认知不确定性的克里金插值方法 #### 1. 克里金插值中的认知不确定性 在地质统计学中，克里金插值是一种常用的空间插值方法。然而，在实际应用中，存在着诸多认知不确定性因素。 - **变异函数选择的不确定性**：理论变异函数是主观选择的依赖模型，但在克里金插值前，对数据集的全面分析以及与地质解释的关联这一关键步骤，很少从其产生的认知不确定性角度去考虑。选择单一变异函数存在一定自由度，这反映了信息的缺乏，而这种信息缺乏正是认知不确定性的一个来源。由于变异函数模型在计算克里金估计可靠性时起着关键作用，其拟合的认知不确定性不应被忽视。若不考虑变异函数参数的认知不确定性对克里金估计的传播影响，可能会导致低估风险并对结果产生错误的信心。 - **测量精度的不确定性**：地质测量往往具有高度不精确性。以含水层渗透率测量为例，它通过抽水试验解释得到，将理论降深曲线拟合到实验曲线上来获取局部渗透率。但这种拟合基于对环境的假设（如均匀基质），存在明显的不精确性，测量不完美导致的认知不确定性会贯穿于测量的渗透率数据中。对于确定性值的唯一评估产生的不精确信息，可以采用反映不精确性的非频率主义或主观方法。 #### 2. 克里金方差的局限性 认知不确定性与克里金方差关系不大。克里金方差是一个理论上的量，仅取决于采样位置 $\{x_1, \ldots, x_n\}$，而与测量值 $z(x_i)$ 无关。估计方差与数据值之间的唯一联系是通过变异函数，但变异函数的定义是全局的而非局部的，它不处理测量中的变异性，只处理测量之间的相互影响。即使是用于在一定程度上捕捉测量误差的块金效应，也仅对 $x_0$ 非常小邻域内的测量对克里金方差有贡献。一旦理论变异函数的参数确定，克里金方差就不再依赖于测量值，而仅取决于测量位置样本的几何形状。因此，通常的克里金方差无法对由于信息不完整导致的克里金误差或不精确性进行估计，需要其他技术。 #### 3. 认知不确定性的建模与传播 为了处理变异性和认知不确定性，可以采用可能性理论、信度函数或不精确预测量等不确定性理论。这些方法的基本原理是，当面临知识缺乏或可用信息不足时，使用一族概率测度更为安全，这类模型通常被称为不精确概率模型，其中最简单的方法是使用区间或模糊区间。 - **模糊区间** - **定义与性质**：实数轴上的模糊子集 $F$ 可以对确定性值（如位置 $x$ 处测量的值 $z(x)$）的可用知识（认知状态）进行建模。隶属度 $F(r)$ 是根据专家知识对 $r$ 与 $z(x)$ 适配性的逐步估计，$F(r)$ 可解释为根据专家判断 $z(x) = r$ 的可能性程度。可能性分布常可视为嵌套的区间集。设 $F_{\alpha} = \{r \in R : F(r) \geq \alpha\}$ 为 $\alpha$-截集，当且仅当 $\forall 0 < \alpha \leq 1$，$F_{\alpha}$ 是区间时，$F$ 称为模糊区间。若隶属函数连续，$z(x) \in F_{\alpha}$ 的确定度等于 $N(F_{\alpha}) = 1 - \alpha$，即 $F_{\alpha}$ 之外的任何值的可能性程度至多为 $\alpha$。可以确定 $z(x) \in S(F) = \lim_{\alpha \to 0}F_{\alpha}$（$F$ 的支撑集），但不能确定 $F_1$ 中最可能的值包含实际值。隶属函数可以通过其 $\alpha$-截集的关系 $F(r) = \sup_{r \in F_{\alpha}} \alpha$ 来恢复。 - **信息表示**：假设专家提供的可用知识以嵌套区间 $F = \{I_k, k = 1, \ldots, K\}$ 的形式呈现，其中 $I_1 \subset I_2 \subset \cdots \subset I_K$，且置信水平 $c_k > c_{k'}$（$k > k'$），则由 $F(r) = \min_{k = 1, \ldots, K} \max(1 - c_k, I_k(r))$ 定义的可能性分布是对所提供信息的忠实表示。若专家仅提供模态值 $c$ 和支撑集 $[a, b]$，可以将此信息表示为具有模态 $c$ 和支撑集 $[a, b]$ 的三角模糊区间，它编码了一族具有相同模态和支撑集包含在 $[a, b]$ 内的单峰（主观）概率分布。需要注意的是，用区间或模糊区间表示数据或模型参数并不改变数据或参数的本质，最佳模型和实际测量值仍然是精确的，但我们对它们的了解是不充分的。区间和模糊集是认知构造，是我们对现实的知识模型，而非现实本身的模型。 - **扩展原理**：由 Lotfi Zadeh 引入的扩展原理为扩展非模糊模型或函数以处理模糊参数提供了一种通用方法。例如，通过将扩展原理应用于标准算术运算（如加法、减法等），开发了推广区间算术的模糊区间算术。将扩展原理应用于任何函数 $f : X \to Y$（具有 $m$ 个精确参数 $x = \{x_k, k = 1, \ldots, m\}$）到一组 $m$ 个模糊参数 $\hat{x} = \{\hat{