优化算法与系统建模知识解析

### 优化算法与系统建模知识解析 #### 1. 启发式卡尔曼算法（HKA）性能分析 在优化问题求解中，HKA 是一种新的优化算法。为评估其性能，将其与增强拉格朗日粒子群优化算法（ALPSO）进行对比。相关结果如下表所示： | 方法 | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(x_4\) | \(g_1(x)\) | \(g_2(x)\) | \(J(x)\) | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | ALPSO | 3.2548 | -0.8424 | -0.7501 | 2.3137 | \(6.1\times10^{-3}\) | \(-4.0\times10^{-4}\) | -1.7197 | | HKA | 3.2556 | -0.8354 | -0.7539 | 2.3127 | \(4.9\times10^{-3}\) | \(-2.8\times10^{-3}\) | -1.7435 | | 方法 | 最优值 | 平均值 | 最差值 | 标准差 | 平均函数评估次数（ANFE） | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | ALPSO | -1.7197 | – | – | – | 25000 | | HKA | -1.7435 | -1.7381 | -1.7323 | 0.0030 | 5072 | 从上述表格可以看出，HKA 找到的最优解明显优于 ALPSO，且约束违反程度更小。同时，HKA 的最差解也比 ALPSO 好，并且其函数评估次数远少于 ALPSO，这意味着 HKA 所需的 CPU 时间更少。 HKA 的主要特点是通过高斯概率密度函数（pdf）来探索搜索空间。具体来说，通过适当调整 pdf 参数，引导搜索朝着方差较小的近似最优解收敛。在此过程中，引入了测量过程和卡尔曼估计器。卡尔曼估计器的作用是将先验 pdf 函数与测量结果相结合，得到用于探索搜索空间的新 pdf 函数。 #### 2. 多元高斯分布 随机向量 \(x \in R^{n_x}\) 若其概率密度函数为： \[p(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n_x} \det(\Sigma)}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x - m)^T \Sigma^{-1}(x - m)\right)\] 其中 \(m \in R^{n_x}\) 是均值，\(\Sigma \in R^{n_x\times n_x}\) 是协方差矩阵，则称 \(x\) 具有多元高斯（或正态）分布，记为 \(x \sim N(m, \Sigma)\)。高斯分布完全由其均值 \(m\) 和协方差矩阵 \(\Sigma\) 决定，\(\Sigma\) 是对称正定矩阵。 此外，正态分布 \(N(m, \Sigma)\) 可等价表示为： \[N(m, \Sigma) \sim m + N(0, \Sigma) \sim m + \Sigma^{1/2}N(0, I)\] 这表明高斯分布 \(N(m, \Sigma)\) 可由归一化高斯分布 \(N(0, I)\) 得到。当协方差矩阵为对角矩阵时，有 \(N(m, \Sigma) \sim m + diag(S)N(0, I)\)，其中 \(S\) 是标准差向量。 #### 3. 卡尔曼滤波器 卡尔曼滤波器由 Kalman 在 1960 年提出，最初用于估计受高斯噪声干扰的线性系统（可能时变）的状态向量。关于卡尔曼滤波器的一般原理，可参考 Maybeck 所著书籍的第 1 章，更详细的内容可查阅 Gelb、Maybeck 和 Simon 的相关书籍。 #### 4. 数值实验 在无约束和有约束两种情况下，对 HKA 与其他多种元启发式算法进行了测试。 - **无约束情况**： - **Branin 函数（RC）**：有 2 个变量，搜索域为