随机微分方程（SDE）及SDEDDO模型介绍

### 随机微分方程（SDE）及SDEDDO模型介绍 #### 1. 随机微分方程（SDE）模型概述 随机微分方程（SDE）模型可根据用户自定义的漂移率和扩散率函数创建并展示通用的随机微分方程模型。借助`sde`对象，能够模拟由`NBROWNS`个布朗运动风险源驱动的`NVars`个状态变量在`NPeriods`个连续观测期内的样本路径，以此近似连续时间随机过程。 一般形式的向量值SDE可表示为： \[dX_t = F(t, X_t)dt + G(t, X_t)dW_t\] 其中： - \(X_t\) 是一个`NVars`×1的状态向量，表示过程变量。 - \(dW_t\) 是一个`NBROWNS`×1的布朗运动向量。 - \(F\) 是一个`NVars`×1的向量值漂移率函数。 - \(G\) 是一个`NVars`×`NBROWNS`的矩阵值扩散率函数。 #### 2. 创建SDE对象 创建SDE对象有以下两种语法： - `SDE = sde(DriftRate,DiffusionRate)`：创建一个默认的SDE对象。 - `SDE = sde( ___ ,Name,Value)`：通过一个或多个名称 - 值对参数指定额外选项来创建SDE对象。 ##### 输入参数 - **DriftRate**：用户自定义的漂移率函数，代表参数 \(F\)，可以是向量或`drift`类的对象。当作为函数调用时，传入两个输入（实值标量观测时间 \(t\) 和`NVars`×1的状态向量 \(X_t\)），返回一个`NVars`×1的漂移率向量。若为`drift`类对象，`sde`仅使用该对象的`Rate`参数。数据类型可以是`double`或对象。 - **DiffusionRate**：用户自定义的扩散率函数，代表参数 \(G\)，可以是矩阵或`diffusion`类的对象。当作为函数调用时，传入两个输入（实值标量观测时间 \(t\) 和`NVars`×1的状态向量 \(X_t\)），返回一个`NVars`×`NBROWNS`的扩散率矩阵。若为`diffusion`类对象，`sde`仅使用该对象的`Rate`参数。数据类型可以是`double`或对象。 ##### 属性 | 属性名称 | 描述 | 默认值 | 数据类型 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | `StartTime` | 首次观测的起始时间，应用于所有状态变量 | 0 | `double` | | `StartState` | 状态变量的初始值 | 1 | `double`（标量、列向量或矩阵） | | `Correlation` | 生成布朗运动向量（维纳过程）所抽取的高斯随机变量之间的相关性 | `NBROWNS`×`NBROWNS`的单位矩阵（代表独立高斯过程） | `double`（正半定矩阵或确定性函数） | | `Simulation` | 用户自定义的模拟函数或SDE模拟方法 | 欧拉近似模拟（`simByEuler`） | `function_handle` | | `Drift` | 连续时间随机微分方程（SDE）的漂移率分量 | 存储自漂移率函数的值 | 只读，`object` | | `Diffusion` | 连续时间随机微分方程（SDE）的扩散率分量 | 存储自扩散率函数的值 | 只读，`object` | 漂移率函数 \(F(t, X_t)\) 可表示为 \(F(t, X_t) = A(t) + B(t)X_t\)，其中 \(A\) 是一个`NVars`×1的向量值函数，\(B\) 是一个`NVars`×`NVars`的矩阵值函数，均可通过 \((t, X_t)\) 接口访问。 扩散率函数 \(G(t, X_t)\) 可表示为 \(G(t, X_t) = D(t, X_t^{\alpha(t)})V(t)\)，其中 \(D\) 是一个`NVars`×`NVars`的对角矩阵值函数，\(\alpha\) 是一个`NVars`×1的向量值函数，\(V\) 是一个`NVars`×`NBROWNS`的矩阵值波动率函数 \(\Sigma\)。 ##### 对象函数 - `interpolate`：用于SDE、BM、GBM、CEV、CIR、HWV、Heston、SDEDDO、SDELD或SDEMRD模型的布朗插值。 - `simulate`：用于SDE、BM、GBM、CEV、CIR、HWV、Heston、SDEDDO、SDELD、SDEMRD、Merton或Bates模型的多元随机微分方程模拟。 - `simByEuler`：用于SDE、BM、GBM、CEV、CIR、HWV、Heston、SDEDDO、SDELD或SDEMRD模型的欧拉模拟。 ##### 示例 创建一个表示单变量几何布朗运动模型的SDE对象： ```matlab % 创建漂移和扩散函数 F = @(t,X) 0.1 * X; G = @(t,X) 0.3 * X; % 创建SDE对象 obj = sde(F, G); % dX = F(t,X)dt + G(t,X)dW disp(obj); ``` 输出结果如下： ```plaintext Class SDE: Stochastic Differential Equation ------------------------------------------- Dimensions: State = 1, Brownian = 1 --- ```