推荐系统中的双相似性正则化与协同深度排序算法

### 推荐系统中的双相似性正则化与协同深度排序算法 #### 1. 双相似性正则化推荐（DSR） 在推荐系统中，传统的社交正则化存在一定局限性。为了克服这些局限，提出了双相似性正则化推荐（DSR）方法。 ##### 1.1 相似性正则化设计 相似性正则化的基本思想是对相似和不相似的对象都施加约束。可以从社交关系或异质信息网络（HIN）生成用户的相似性矩阵 \(S_U\)，同时也可以设计物品的相似性正则化： \[SimRegI = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(S_I(i, j) - e^{-\gamma \|V_i - V_j\|^2})^2\] ##### 1.2 DSR 模型 将用户和物品的相似性正则化添加到低秩矩阵分解框架中，提出了 DSR 模型。其优化模型如下： \[ \begin{align*} \min_{U,V,w_U,w_I} J &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}I_{ij}(R_{ij} - U_iV_j^T)^2 \\ &+ \frac{\lambda_1}{2}(\|U\|^2 + \|V\|^2) + \frac{\lambda_2}{2}(\|w_U\|^2 + \|w_I\|^2) \\ &+ \alpha SimRegU + \beta SimRegI \\ \text{s.t.} &\sum_{p=1}^{|P_U|}w_U^{(p)} = 1, w_U^{(p)} \geq 0 \\ &\sum_{q=1}^{|P_I|}w_I^{(q)} = 1, w_I^{(q)} \geq 0 \end{align*} \] 其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别控制用户和物品相似性正则化项的比例。 ##### 1.3 学习算法 DSR 的学习算法分为两个步骤： 1. **优化 \(U\) 和 \(V\)**：固定权重向量 \(w_U\) 和 \(w_I\)，通过随机梯度下降优化用户和物品的潜在因子矩阵 \(U\) 和 \(V\)。 - \(\frac{\partial J}{\partial U_i} = \sum_{j=1}^{n}I_{ij}(U_iV_j^T - R_{ij})V_j + \alpha\sum_{j=1}^{m}\gamma[(S_U(i, j) - e^{-\gamma \|U_i - U_j\|^2})e^{-\gamma \|U_i - U_j\|^2}(U_i - U_j)] + \lambda_1U_i\) - \(\frac{\partial J}{\partial V_j} = \sum_{i=1}^{m}I_{ij}(U_iV_j^T - R_{ij})U_i + \beta\sum_{i=1}^{n}\gamma[(S_I(i, j) - e^{-\gamma \|V_i - V_j\|^2})e^{-\gamma \|V_i - V_j\|^2}(V_i - V_j)] + \lambda_1V_j\) 2. **优化 \(w_U\) 和 \(w_I\)**：固定潜在因子矩阵 \(U\) 和 \(V\)，对 \(w_U\) 和 \(w_I\) 的最小化是一个有非负边界的二次优化问题，可以使用标准的信赖域反射算法更新 \(w_U\) 和 \(w_I\)。以 \(w_U\) 为例，其优化函数可简化为标准二次形式： \[ \begin{align*} \min_{w_U} &\frac{1}{2}w_U^TH_Uw_U + f_U^Tw_U \\ \text{s.t.} &\sum_{p=1}^{|P_U|}w_U^{(p)} = 1, w_U^{(p)} \geq 0 \end{align*} \] 其中，\(H_U\) 是一个 \(|P_U| \tim