从曲线拟合到机器学习：数据处理与模型构建

### 从曲线拟合到机器学习：数据处理与模型构建 #### 1. 数据与模型的关系及分子科学中的应用 科学旨在理解和描述现实世界，以改善和丰富人类生活。但现实世界的结构和动态极其复杂，例如实验室中的化学反应，涉及大量分子、溶剂、表面相互作用以及外部环境因素。因此，为了描述自然，需要建立简化和理想化的模型。这些模型虽然在严格意义上是错误的，但可能保留了特定感兴趣的关键特征，从而具有实用性。 实验与理论的辩证互动是现代科学的关键驱动力。实验数据只有在特定模型或理论背景下才有意义，而理论思考若无实验证据则只是思维练习。数据分析是连接实验和理论的桥梁，它提供了从实验数据中提取和测试模型的方法。 模型函数相较于单纯列举的数据具有诸多实际优势。它是对感兴趣量之间关系的综合表示，可以以紧凑的方式存储在数据库中，减少内存消耗。一个好的模型允许进行插值或外推计算，以生成新的数据，从而支持甚至替代昂贵的实验室工作。此外，合适的模型还可用于探索有趣的最优性质。 在当前科学中，根据对自然的了解程度，可以区分出三种情况： |情况|描述|示例| | ---- | ---- | ---- | |情况 1|模型函数 f 在理论或经验上已知，可以直接计算输出量|无| |情况 2|函数 f 的结构形式已知，但参数值未知，可以通过曲线拟合方法根据实验数据统计估计参数值|线性关系 y = a1 + a2x，a1 和 a2 为未知参数| |情况 3|模型函数 f 的结构形式未知，需要通过数据平滑或机器学习方法，仅使用实验数据构建模型函数|无| 当代分子科学广泛遇到这三种情况。自 20 世纪初的科学革命以来，分子科学在现代物理学中有了坚实的理论基础，量子理论原则上可以定量解释和计算物质的结构、稳定性和反应性。然而，精确应用这些定律会导致方程过于复杂而难以求解，因此实际应用中存在很大限制。 分子科学主要面临情况 2 和情况 3，是从曲线拟合到机器学习方法的主要应用领域。例如，物理化学或生物物理学等领域常偏好情况 2，通过曲线拟合方法估计未知参数值。而随着自然系统复杂性的增加，情况 3 更为常见，需要通过机器学习构建模型函数。 以下是一个简单的情况 2 的示例代码： ```mathematica xyData = CIP‘ExperimentalData‘GetAcetanhydrideKineticsData1[]; errorValue = 1.0; xyErrorData = CIP‘DataTransformation‘AddErrorToXYData[xyData, errorValue]; labels = {"Time [min]", "Absorption", "Kinetics of hydrolysis of acetanhydride 1"}; CIP‘Graphics‘PlotXyErrorData[xyErrorData, labels] ``` 这个代码展示了从实验数据中获取乙酰酐水解动力学数据，并添加误差权重，最后绘制误差数据图的过程。 #### 2. 优化问题概述 优化是指确定数学函数的最优值（最小值和最大值）的过程。许多重要的科学问题都可以归结为优化问题，从曲线拟合到机器学习的方法主要依赖于数学优化技术。 数学函数可以分为以下几类： - **无最优值**：例如二维直线、三维平面或多维超平面，一些非线性函数如指数函数也可能没有最优值。示例代码如下： ```mathematica pureFunction = Function[{x, y}, 1.0 + 2.0*x + 3.0*y]; xRange = {-0.1, 1.1}; yRange = {-0.1, 1.1}; labels = {"x", "y", "z"}; CIP‘Graphics‘Plot3dFunction[pureFunction, xRange, yRange, labels] ``` - **有一个最优值**：例如二维二次抛物线、三维抛物面或多维抛物超曲面。示例代码如下： ```mathematica pureFunction = Function[{x, y}, x^2 + y^2]; xRange = {-2.0, 2.0}; yRange = {-2.0, 2.0}; CIP‘Graphics‘Plot3dFunction[pureFunction, xRange, yRange, labels] ``` - **有多个甚至无限个最优值**：例如二维正弦函数、三维曲面或多维曲面。示例代码如下： ```mathematica pureFunction = Function[{x, y}, 1.9*(1.35 + Exp[x]*Sin[13.0*(x - 0.6)^2]*Exp[-y]*Sin[7.0*y])]; xRange = {-0.1, 1.1}; yRange = {-0.1, 1.1}; CIP‘Graphics‘Plot3dFunction[pureFunction, xRange, yRange, labels] ``` 这种分类适用于单参数函数 y = f(x) 和多参数函数 y = f(x1, x2, ..., xM)。对于没有最优值的函数，无需进行优化；对于只有一个最优值的函数，通常可以通过解析方法直接计算最优位置；而对于具有多个最优值的非线性函数，会带来严重的问题，大多数实际应用都属于这种情况。 #### 3. 微积分求最优值 微积分中确定最优值的标准分析方法是：对于形式为 y = f(x) 的单参数函数，可能包含一个最小值和一个最大值。示例代码中，首先清除所有先前的变量和定义，并加载必要的 CIP 图形包： ```mathematica Clear["Global‘*"]; <<CIP‘Graphics‘ ``` 以下是一个函数示例，它可能包含一个最小值和一个最大值： ```mathematica (* 此处应补充具体函数示例代码，原文未完整给出 *) ``` 通过