MAD投资组合优化工具详解

# MAD投资组合优化工具详解 ## 1. 投资组合优化理论 ### 1.1 投资组合优化问题 投资组合优化问题旨在找出满足以下三个标准的投资组合： - 最小化风险代理指标。 - 达到或超过回报代理指标。 - 满足基本可行性要求。 投资组合是资产可行集中的点，这些资产构成了一个资产宇宙。投资组合可以用每种资产的持有量或权重来表示，通常使用权重来指定投资组合，不过投资组合优化工具也支持使用持有量。可行投资组合集必须是非空、封闭且有界的集合。风险代理指标是描述投资组合选择相关的可变性或损失的函数，回报代理指标是描述投资组合选择相关的总收益或净收益的函数。“风险”和“风险代理指标”以及“回报”和“回报代理指标”可以互换使用。Markowitz的基本见解是，投资组合选择问题的目标是在给定回报水平下寻求最小风险，在给定风险水平下寻求最大回报。满足这些标准的投资组合是有效投资组合，这些投资组合的风险和回报的图形形成一条曲线，称为有效前沿。 ### 1.2 投资组合问题规范 要指定一个投资组合优化问题，需要以下要素： - 投资组合回报代理指标 (μ) - 投资组合风险代理指标 (Σ) - 可行投资组合集 (X)，称为投资组合集 金融工具箱中有三个对象可用于解决特定类型的投资组合优化问题： | 对象名称 | 优化类型 | 回报代理指标 | 风险代理指标 | 投资组合集 | | --- | --- | --- | --- | --- | | Portfolio | 均值 - 方差投资组合优化 | 总投资组合回报或净投资组合回报 | 投资组合回报的方差 | 由指定约束的任意组合形成的投资组合集 | | PortfolioCVaR | 条件风险价值投资组合优化（CVaR） | 与均值 - 方差投资组合优化相同 | 投资组合回报的条件风险价值 | 与均值 - 方差投资组合优化相同 | | PortfolioMAD | 平均绝对偏差投资组合优化（MAD） | 与均值 - 方差投资组合优化相同 | 投资组合回报的平均绝对偏差 | 与均值 - 方差投资组合优化相同 | ### 1.3 回报代理指标 投资组合回报代理指标是一个函数 μ: X → R，定义在投资组合集 X ⊂ Rⁿ 上，用于描述投资组合选择的回报。通常有两种形式：总投资组合回报和净投资组合回报。两种回报形式都将无风险利率 r₀ 分离出来，使得投资组合 x ∈ X 仅包含风险资产。 #### 1.3.1 总投资组合回报 对于投资组合 x ∈ X，总投资组合回报为： μ(x) = r₀ + (m - r₀1)ᵀx 其中： - r₀ 是无风险利率（标量）。 - m 是资产回报的均值（n 维向量）。 如果投资组合权重之和为 1，则无风险利率无关紧要。Portfolio 对象中用于指定总投资组合回报的属性有： - RiskFreeRate 用于 r₀ - AssetMean 用于 m #### 1.3.2 净投资组合回报 对于投资组合 x ∈ X，净投资组合回报为： μ(x) = r₀ + (m - r₀1)ᵀx - bᵀmax{0, x - x₀} - sᵀmax{0, x₀ - x} 其中： - r₀ 是无风险利率（标量）。 - m 是资产回报的均值（n 维向量）。 - b 是购买资产的比例成本（n 维向量）。 - s 是出售资产的比例成本（n 维向量）。 也可以在这个模型中纳入固定交易成本，但在这种情况下，需要将价格纳入这些成本。Portfolio 对象中用于指定净投资组合回报的属性有： - RiskFreeRate 用于 r₀ - AssetMean 用于 m - InitPort 用于 x₀ - BuyCost 用于 b - SellCost 用于 s ### 1.4 风险代理指标 投资组合风险代理指标是一个函数 σ: X → R，定义在投资组合集 X ⊂ Rⁿ 上，用于描述投资组合选择的风险。 #### 1.4.1 方差 对于投资组合 x ∈ X，投资组合回报的方差为： Variance(x) = xᵀCx 其中 C 是资产回报的协方差矩阵（n × n 半正定矩阵）。 Portfolio 对象中用于指定投资组合回报方差的属性是 AssetCovar 用于 C。虽然均值 - 方差投资组合优化中的风险代理指标是投资组合回报的方差，但通常报告和显示的是其平方根，即投资组合回报的标准差，这个量通常被称为投资组合的“风险”。 #### 1.4.2 条件风险价值（CVaR） 对于投资组合 x ∈ X，条件风险价值（也称为预期短缺）定义为： CVaRα(x) = 1 / (1 - α) ∫[f(x, y) ≥ VaRα(x)] f(x, y)p(y)dy 其中： - α 是概率水平，0 < α < 1。 - f(x, y) 是投资组合 x 和资产回报 y 的损失函数。 - p(y) 是资产回报 y 的概率密度函数。 - VaRα 是投资组合 x 在概率水平 α 下的风险价值。 风险价值定义为： VaRα(x) = min{γ: Pr[f(x, Y) ≤ γ] ≥ α} CVaR 的另一种形式为： CVaRα(x) = VaRα(x) + 1 / (1 - α) ∫Rⁿ max{0, (f(x, y) - VaRα(x))} p(y)dy 概率水平 α 通常选择 0.9 或 0.95。选择 α 意味着投资组合 x 的风险价值 VaRα(x) 是投资组合回报，使得投资组合回报低于该水平的概率为 (1 - α)。给定投资组合 x 的 VaRα(x)，该投资组合的条件风险价值是投资组合回报高于风险价值回报的预期损失。 为了描述回报的概率分布，PortfolioCVaR 对象采用有限的回报情景样本 ys，s = 1, ..., S。每个 ys 是一个 n 维向量，包含在情景 s 下每种资产的回报。这 S 个情景的样本存储为一个 S × n 的情景矩阵。对于给定的投资组合 x ∈ X 和 α ∈ (0, 1)，CVaR 投资组合优化的风险代理指标计算如下： CVaRα(x) = VaRα(x) + 1 / ((1 - α)S) ∑[s = 1 to S] max{0, -ysᵀx - VaRα(x)} 每次估计 CVaR 时都会估计风险价值 VaRα(x)。损失函数为 f(x, ys) = -ysᵀx，即情景 s 下的投资组合损失。在这个定义下，VaR 和 CVaR 是基于给定情景的样本估计值。更好的情景样本会产生更可靠的 VaR 和 CVaR 估计值。 #### 1.4.3 平均绝对偏差（MAD） 对于投资组合 x ∈ X，平均绝对偏差（MAD）定义为： MAD(x) = 1 / S ∑[s = 1 to S] (ys - m)ᵀx 其中： - ys 是情景 s = 1, ..., S 下的资产回报（S 个 n 维向量的集合）。 - m 是资产回报的均值（n 维向量），且 m = 1 / S ∑[s = 1 to S] ys ## 2. 使用 PortfolioMAD 对象的投资组合集优化 ### 2.1 投资组合集概述 投资组合优化问题的完整规范的最后一个要素是可行投资组合集，称为投资组合集。投资组合集 X ⊂ Rⁿ 是通过对投资组合权重的一组约束所形成的集合的交集来指定的。投资组合集必须是非空、封闭且有界的集合。在设置投资组合集时，要确保其满足这些条件。最基本或“默认”的投资组合集要求投资组合权重非负（使用下界约束）且总和为 1（使用预算约束）。投资组合优化工具处理的最一般的投资组合集可以包含以下任何约束，这些约束是 PortfolioMAD 对象的属性： - 线性不等式约束 - 线性等式约束 - “简单”边界约束 - “条件”边